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1、新淮高级中学高三数学调研卷（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1已知集合，则 .2已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为 .3某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有 .个网箱产量不低于50 kg4从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为 .5函数的定义域是 .6已知复数满足，则 .7已知等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，则a1的值为 .8已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是
2、.9如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边BC，CD的中点沿图中虚线折起，使B，C，D三点重合，则围成的几何体的体积为 .10如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .11在梯形中，是线段上的动点，若，则的取值范围是 .12已知定义在上的奇函数满足，当时，则方程在区间上所有的实数解之和为 .13设，且，则 .14已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本题14分）在中，角，的对边分别是，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.16（本题14分）如图所示，
3、在四棱柱中，.（1）求证：（2）若为线段的中点，求证：.17（本题14分）已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点。(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积18（本题16分）某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设.（1）求的长（用表示）；（2）
4、对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？19（本题16分） 设.（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值.20.（本题16分） 已知正项数列中，点在抛物线上数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上（）求数列，的通项公式；（）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷上规定的位置解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效21（A） 选修4-2:矩阵与变换(本
5、小题满分10分) 已知点在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点若点的坐标为，求点A的坐标（B）选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标.22（本小题满分10分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能
6、性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望23（本小题满分10分）已知数列满足（1）求的值；（2）对任意正整数，小数点后第一位数字是多少？请说明理由新淮高级中学高三数学调研卷（考试时间：120分钟 试卷满分：160分） 一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1已知集合，则_.【答案】【解析】集合，2已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为_.【答案】【解析】由，得，
7、所以，又，所以切点为，所以切线方程为，即，令，得，所以切线在y轴上的截距为-2.3某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有_个网箱产量不低于50 kg【答案】82【解析】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）50.82，所以网箱个数：0.08210082.4从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为_【答案】【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为5函数的定义域是_.【答案】【解析】解得且即函数的
8、定义域为.6已知复数满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，所以.7已知等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，则a1的值为_.【答案】1.【解析】由已知，S3，则，所以.又，所以，.8已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是 .【答案】【解析】由已知得，一条渐近线方程为，根据焦点到渐近线距离，则，故双曲线的标准方程是.9如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边BC，CD的中点沿图中虚线折起，使B，C，D三点重合，则围成的几何体的体积为_.【答案】【解析】以为折痕，折叠这个正方形，使点重合于一点，得到一个四面体，如图所示在折叠过程中，始终
9、有，即 ，所以四面体的底面积为：，高为四面体的体积：.10如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_.【答案】27【解析】s=0,n=1,s=(0+1)1=1，n=1+1=2，不满足条件n3，执行循环体；s=(1+2)2=6，n=1+2=3，不满足条件n3，执行循环体；s=(6+3)3=27，n=1+3=4，满足条件n3，退出循环体，则输出结果为：2711在梯形中，是线段上的动点，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】设,则所以12已知定义在上的奇函数满足，当时，则方程在区间上所有的实数解之和为_【答案】【解析】由题意，方程在区间上所有的零点，转化为函数与的交点的横坐标，又由定义在上的
10、奇函数满足，所以函数的周期为，画出函数的图象，如图所示，则函数的图象关于点对称，根据图象可得，函数的图象共有4个交点，它们关于点对称，所以函数在区间所有的实数解之和为.13设，且，则_【答案】【解析】，故tan，又=故，则.14已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_【答案】【解析】因为，所以，所以 令所以所以的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在中，角，的对边分别是，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.【解析】（1）因为，由正弦定理可得：，整理得，（2分），解得.（4分）又，所以，即， （6分）.
11、（7分）（2）由（1）知，（8分），解得.（10分）由余弦定理，得，即.（13分）的周长为.（14分）16如图所示，在四棱柱中，.（1）求证：（2）若为线段的中点，求证：.【解析】（1）因为，所以BD是线段AC的垂直平分线.所以.2分又，所以.5分因为，所以.6分（2）连结AE.因为，所以.7分因为E为BC的中点，所以所以.所以.因为，所以.9分在棱柱中，四边形为平行四边形，所以.10分因为，所以，.11分（注意：证两次线面平行共3分）又，所以.13分因为.14分17已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶
12、点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积【解析】(1)因为椭圆焦点坐标为 ，且过点，所以，所以，.（3分） 从而， 故椭圆的方程为.（6分）(2)设点，因为，且三点共线，所以，解得，所以， .（8分）同理得， .（10分）因此， .（12分）因为点在椭圆上，所以，即，代入上式得：.（14分）18某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.
13、设.（1）求的长（用表示）；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【解析】（1）过点作垂直于，垂足为在直角三角形中，所以，因此 （4分）（2）由图可知，点处的观众离点最远在三角形中，由余弦定理可知（6分）（10分） 因为，所以当，即时，8001600，（14分）又8001600所以 答：观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米故对于任意，上述设计方案均能符合要求（16分）19（本题16分） 已知（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值.解:.(1分)当时，且仅当时，.(3分)所以是上的增函数当时，有两根，当时，在上是增函数.(4分)当时，在上
14、是减函数.(5分)当时，在上是增函数.(6分)（2） 由题意是方程的两根，故有， .(7分) 因此： .(8分)同理：因此直线的方程为：.(10分)设直线与轴的交点为，则.(12分) .(14分)由题设知，点在曲线上，故解得.(16分)20. 已知正项数列中，点在抛物线上数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上（）求数列，的通项公式；（）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围【解析】（）将点代入抛物线得：数列是等差数列，即.（2分）为直线的方向向量直线的斜率，直线的方程为在直线上.（4分）（）由题当是偶数时，是奇数，即，
15、.（6分）当是奇数时，是偶数，即（舍去）.（8分）故存在唯一的符合条件.（）由题 ，即.（10分）设，则.（14分），即数列是递增数列.（16分）第二部分（加试部分满分40分）21 （A）解：设，则在变换T下的坐标为，又绕原点逆时针旋转对应的矩阵为，(4分)所以，得，解得所以点A的坐标为(10分)（B）解：直线的直角坐标方程为由方程可得，又因为，所以所以曲线的普通方程为(6分)将直线的方程代入曲线方程中，得，解得，或（舍去）所以直线与曲线的交点P的直角坐标为(10分)22解：（1）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左 (3分)（2）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0,1,2,3，X的分布列为0123(7分) (9分)答：落入4号容器的小球个数X的数学期望为 (10分)23解：（1），2分（2）小数点后第一位数字均为5，小数点后第一位数字为6.（3分）下证：对任意正整数，均有注意到故对任意正整数，有 （5分）下用数学归纳法证明：对任意正整数，有当时，有，命题成立；假设当时，命题成立，即则当时，时，命题也成立；综合，任意正整数，由此，对正整数，此时小数点后第一位数字均为6所以小数点后第一位数字均为5，当时，小数点后第一位数字均为6(10分)21