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1、毕业论文写作指导作业: 文献综述关于连分数在解方程方面的应用姓名: 温巧婷 学号:100501524（惠州学院数学系10级5班，邮编:516007, E-mail:）摘要 本文主为了说明连分数在方程方面的应用，首先介绍实数展成连分数的方法，接着介绍连分数在解方程方面的应用，最后提出一些建议。关键词 连分数； 连分数展式；解方程1. 引言 研究连分数源于实数在“数学上有纯粹的”表示。每一个实数基本上能够唯一地表成简单连分数，并且连分数在对求无理数的有理近似值方面有很好的应用。学习了循环连分数后我们知道“每一循环连分数一定是某一整系数二次不可约方程的实根”初等数论（第三版）闵嗣鹤、严士健编，说明了
2、方程与连分数之间具有某种关系，于是猜想连分数在解方程方面具有某种方便的作用或说可以提供一种全新的解题思路，所以收集了连分数在解方程方面的一些论文。在应用连分数解方程时，首先要知道实数如何展成连分数以及展式的一些性质，因为在解方程的过程中涉及到这方面的知识，因此也收集了实数展成连分数及其展式性质的一些论文。本文主要介绍实数展成连分数和利用连分数解方程的一些研究成果。2. 正文 连分数的理论在今天的数学中起着重要作用。在数论及线性方程的研究中，它成为一个最重要的工具。连分数与概率论、级数递归、函数逼近及工程技术均有联系，它的展开能使经济问题转化为数学的技巧问题得到解决。在计算机领域中，连分数常被用
3、来作出各种复杂函数的近似，并且一旦为计算机编码之后就迅速地给出对于科学和应用数学有价值的数值结果。下面我们着重研究连分数在解方程方面的应用。1、 利用连分数解方程的现状这方面的研究成果比较丰富：连分数在解丢番图方程的p_adic算法，连分数求解一次不定方程，循环连分数与Pell方程等等。由于计算机的发展，机械数学也越来越受到关注，希望可以用计算机解决具体的数学问题，所以每种解法都希望可以写成一种算法，在解方程这一块，利用连分数解题的算法也如雨后春笋般涌现出来。2、 展成连分数及其展式的一些成果 有限连分数是由整数经过有限四则运算的结果，所以它的值是一个有理数，反之对有理数，有是整数，且故任一有
4、理数都可表为有限连分数，而且有理数表为有限连分数的表法不唯一；若无限连分数收敛，值一定是无理数，反之任一无理数都可表示为无限连分数。31、 的连分数展开式 当时，可展开：其中，若取的最大整数，使，其商便是连分数的第一部分商，若取的最小整数，使，以此类推得到。2、连分数展开式特征性质和Pell方程的基本解若的连分数展开式中，是使成立的最小足标，则当为偶数时，（且不是平方数）无整数解，为（且不是平方数）的基本解；当为奇数时，为的基本解，为的基本解。3、 无理数表成连分数的几个公式公式一：，则为无理数,且可表成连分数；公式二：设，则为无理数,且可表成连分数；公式三：设，则为无理数,且可表成连分数；公
5、式四：设，若，则为无理数，且可表成连分数。3、 利用连分数解方程的研究成果1、 一次丢番图方程的解将连分数展开成渐近分数是利用辗转相除法得到的，而求一次丢蕃图方程和一次同余方程的解的过程也可通过辗转相除求得.如解一次同余方程中使用飞大衍求一术。所以连分数与一次不定方程、一次同余方程有密切的关系，其中的基础就是辗转相除法。将即展开为连分数，倒数第二个渐近分数的分子就是y值，分母就是x值。同样可求一次同余方程的解。2、n元一次不定方程的全体整数解 设整数是整数且都不等于零，若不定方程有解，则全体整数解为上式中，而写成连分数形式，再求出它的第n个渐近分数便可以得到，（其中是参数且）。3、 佩尔方程的
6、最小解 佩尔方程（为非平方的正整数）的最小解的求法：通过求的连分数的渐近分数，然后再找出满足方程的渐近分数，则满足方程的最小的即为方程的最小解。通过求的连分数的渐近分数（，且st为双数），从而得出最小的（，且st为双数），则最小的（，且st为双数）即为方程的最小解。4、佩尔方程的通解 若是满足方程的最小值,则 方程两边分别n次幂得 因式分解后得:用同样的方法也可得出的同解。5、 三元范式（K是等式成立的最小正整数）一个解法引理一：若连分数的渐近分数是，则连分数引理二：设正整数两两互素，且，则不可经表出的充分必要条件是其中定理：设的渐近分数分别为，则存在，使；令可表为就是所求的最小正整数K。6、
7、 不定方程的一个解法 第一步用母函数方法求方程的解，第二步用连分数理论求解方程化归为佩尔方程。于是便得出定理：方程有无穷多组正整数解，且它的全部正解由小到大按顺序为：同时，这些解满足递推关系：7、 不定方程的整数解主要利用同余理论、代数数表成连分数和数论中的有关结论，给出了不定方程的满足所给条件的整数解。8、同余式的一种快速算法定理一：该同余式有解的充要条件是存在自然数u、v，使，且若以表示域中v的逆元，则是该同余式的一个解。引理：设是既约分数的简单连分数展开式，且表示的第n个渐近分数，则以下各式成立：，且定理二：若该同余式有解，则存在自然数l、u、v，使由定理一和定理二，得出该同余式的一种快
8、速算法如下：利用Legendre符号和互逆定理判断同余式是否有解，若有解，则转入；利用，求使得有解的t值，它们就是应当试算的值；对符合条件的t，从小到大，依次取同余式的解，检验是否是完全平方数，如果是，则令，转入，如果不是，则取下一个，若对于某个t，满足条件的已经取完而v仍未出现，则取下一个t；解同余式，则是该同余式的解。9、兰伯特方程的一种快速解法首先简要阐述了兰伯特方程的拉格朗日形式，进而根据超几何函数的连分数表达形式推导出无量纲转移时间对参数x的一、二阶导数。在此基础上，采用Halley迭代公式给出求解兰伯特方程的具体步骤。3. 结论与建议 实数的连分数展式具有较好的性质，这些性质为我们
9、提供了新思路、新方法，产生一些较为简便的、容易实施的算法。在研究利用连分数解方程的文献中，特别是在解不定方程时，连分数都起到了直接或间接的作用，大大简化了运算，由此可见对该课题的研究是有意义的。虽然对该课题的研究起步的较早，但是仍存在着不少的问题：1、 除了外的超越数如何展成连分数的形式；2、 次方根如何展成连分数的形式；3、 用连分数表示实数，比起用小数表示的优点之一在于截段后更接近原数，是否可用这个特点来对含多层根号的数进行一个较好的估值；4、 研究了二元一次不定方程和二元二次不定方程，是否可向n元m次不定方程推广；5、 三元范式可以利用连分数来求解，那么更多元的范式是否可用这种法或说沿着
10、这种思路去研究；6、 一个方程可以有很多种思路、很多中解法，连分数与其他解法相比，它的优点在哪里、缺点又在哪里；7、 在有些情况下，连分数并不是直接起作用，而是先用它证明一个问题再解决最终问题，那么连分数与其他知识之间有着怎样的联系或者说连分数在整个数学框架中扮演着一个怎样的角色；8、 连分数作为一种表示方式，它的优缺点在哪，它适合用在何种场合；9、 如果不同的问题可以用相同的方法解决，那么这些问题之间是否有一定的连通性，正如均可用连分数解决的方程之间是否有关联，如果有，有怎样的联系；10、 在解方程的过程中，只用到连分数的一部分性质，这部分性质可以说方程与连分数共同“拥有”，是否利用这部分性
11、质来研究方程。 该课题遗留的问题大多可通过推广得到，有些就比较新颖需更多的创新。若想解决这些问题需要对连分数做更全面的掌握，熟知它的性质。希望可以利用连分数构造更多、更简单的算法，使得机器智能进一步。参考文献1道靖,陆广地.连分数解丢蕃图方程的p-adic算法J.喀什师范学院学报,2005,03:25-27.2袁明豪,严培胜,张清芳.有限简单连分数的几个应用J.黄冈师范学院学报,2003,03:27-30.3姚惠.浅谈简单连分数形式的一种推广J.黔南民族师范学院学报,2004,06:31-34.4陈广锋,杨中和.二次无理数的连分数及其应用J.西安文理学院学报(自然科学版),2008,04:23
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17、l: )Abstract In this paper, the main in order to illustrate the application of continued fraction in terms of equations, introduces real exhibition as a continued fraction method, then introduces the application of continued fraction in terms of solving equations, finally puts forward some Suggestions. Keywords continued fraction; expand form continued fraction ;solving equations 9