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1、2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是 解：所有骰子所示点数至少是3的概率为()3，所有骰子中所示点数至少是4的概率为()3所以3颗骰子所示数字中最小值恰为3的概率是()3()32关于x的方程x22axa24a0有模为3的虚数根，则实数a的值是 解：由题(xa)24a0，所以xa2i，又|x|2 a24a9，即有a2，因为a0，所以a23已知正项数列an的首项为1，且对于一切正整数n都有an(nanan1)(n1)a，则数列的通项公式an 解：根据an(
2、nanan1)(n1)a，写出a2，a3，a4，可归纳出an也可以变形为(an1an)(n1)an1nan)0，由an1an0，得(n1)an1nana11，所以an4设以F1(1，0)、F2(1，0) 为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P若e，则e的值为 解：在抛物线中，p4，准线x3，|PF2| 是P到准线的距离椭圆中，e，|PF2|也是P到左准线的距离，则抛物线准线与椭圆的准线重合，所以3因为c1，故e5设实数a，b满足0a，b8，且b216a2，则ba的最大值与最小值之和是 解：由题设可知，b216a2，则ba记f(a)，则函数f(a)单调递减
3、由0a，b8，得16a264，解得0a4所以ba的最小值为f(4)84，ba的最大值为f(0)4，从而ba的最大值与最小值之和为1246函数f(x)2cosxsin2x (xR)的值域是 解：f(x)2(2cosxsin2x)24cos2x(1sinx)2(33sinx)(1sinx)34， 当且仅当33sinx1sinx，即sinx时，等号成立从而当sinx，cosx，f(x)取得最大值为，当sinx，cosx，f(x)取得最小值为所以函数f(x)2cosxsin2x (xR)的值域是，7正四棱锥PABCD外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱锥的底面面积为 解：
4、设四棱锥的底面边长为a，则球心到底面的距离为由，解得：a244，即四棱锥的底面面积为448已知ABC的外心为O，内心为I，B45若OIBC，则cosC的值是 解：设ABC的外接圆半径 和内切圆半径分别为R和r记BC的中点为M，D是由I向BC所作垂线的垂足由OIBC，知OMIDr由BOC2A，BCBDDC2BM，得2rtanA，即所以cosA4sinsinsin2sin(coscos) 2(sin)22 coscoscosA1(cosBcosC)从而cosBcosC1所以cosC1二、解答题（本题满分16分）设等比数列a1，a2，ak和b1，b2，bk，记cnanbn，n1，2，k （1）写出一
5、组a1，a2，a3和b1，b2，b3，使得c1，c2，c3是公差不为0的等差数列； （2）当k4时，求证：cn不可能为公差不为0的等差数列解：（1）a14，a28，a316；b11，b23，b39，则c13，c25，c37 6分 （2）设anapn，bnbqn，则cnapnbqn假设cn是公差非0的等差数列，则由2cn1cncn2得apn(p1)2bqn(q1)2 10分当k4时，n可取1，2，所以有ap(p1)2bq(q1)2，ap2(p1)2bq2(q1)2解得pq于是当pq1时，则ab，从而c1c2ck0当pq1时，则c1c2ckab又数列cn是公差不为0的等差数列，矛盾故命题成立 16
6、分三、解答题（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l绕点F旋转时，都有为定值解：由题意知，点F的坐标为(3，0)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：yk(x3)由得(23k2)x218k2x27k2540，所以x1x2，x1x2 5分假设在x轴上存在定点P(t，0)，使得为定值，(x1t，y1)(x2t，y2)x1x2t(x1x2)t2y1y2 x1x2t(x1x2)t2k(x13)k(x23)(1k2) x1x2(3k2t) (x1x2)t29k
7、2(1k2)(3k2t) t29k2t2 10分当直线l绕点F旋转，即k变化时，要使得为定值，即为定值，则，解得t4此时11 15分当直线l与x轴垂直时，A(3，2)，B(3，2)，此时(34，2)(34，2)11综上所述，在x轴上存在定点P(4，0)，使得为定值 20分四、解答题（本题满分20分）设多项式f(x)x3ax2bxc，其中a、b、c是实数若对于任意的非负实数x，y，有f(xy)f(x)f(y)求a、b、c所满足的条件解：由f(xy)f(x)f(y)，得 3x2y3xy2c2axy，x，y0 （*） 5分取xy0代入（*），得c0不妨设x0，y0，3x2y3xy2(c)33xy，等号成立，当且仅当 x0y0 10分因此 3x0y02ax0y0，从而a 15分当a，c0时，x，y0，3x2y3xy2c2axy，即f(xy)f(x)f(y)综上所述，a、b、c满足的条件是a，c0，bR 20分