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1、一、 简单随机抽样1、在简单随机抽样中，试证明比估计是总体均值的渐近无偏估计，并求其方差。证明： 由于 即 所以 得证。由于 即所以其中：故2、对于简单随机抽样，总体均值的回归估计量定义为：，如为常数(记为)，证明证明：3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值的回归估计量定义为，若为常数（记为），且有,求证：（1） （2）使最小的为；其中.证明：（1） （2）求对的偏导数： 将的值代入，验证其最小值存在，此时 4、研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：编号文化支出编号 文化支出1200111502150121603
2、170131804150141305160151006130161807140171008100181809110191701024020120估计该小区平均的文化支出,并给出置信水平95%的置信区间。解析：由已知得： 根据表中数据计算得： 因此该小区平均文化支出的95%置信区间为：即是：132.544 ,156.456，故估计该小区平均的文化支出=144.5,置信水平95%的置信区间为132.544 ,156.456。5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到，这些企业去年的平均产量为。试估计今年该地区化肥总产量。
3、解析：由题可知，,则，该地区化肥产量均值的比率估计量为 该地区化肥产量总值Y的比率估计量为 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。二、 分层随机抽样6、在分层随机抽样的分别比估计中：（1）试证明；（2）求出其方差。（1） 证明：根据题意： 又 综上可得：（2） 解：由第一问可知 而8、调查某地区居民的奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查后各层样本户的奶制品年消费支出的中间结果如下表所示：层号（）层权（%）样本量样本平均值（元）第层样本方差10.07021039.51623.722220.140410105.52
4、166.666730.263210165.08205.555640.52631023.0193.333请估计该地区居民奶制品的年消费总支出及其95%的置信区间。解析：根据表中的数据可得；估计量方差的无偏估计为，进而有。的95%的置信区间为，其中=1.96，经计算可得因此，可以有95%的把握认为该地区居民奶制品的年消费总支出在164163255137元之间。7、试述分别比估计和联合比估计的比较。答：如果每一层都满足比率估计量有效的条件，则除非hRR，都有分别比率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使
5、总的均方误差增大。实际使用时，如果各层的样本量都较大，且有理由认为各层的比率hR差异较大，则分别比率佑计优于联合比率估计。当各层的样本量不大，或各层比率hR差异很小，则联合比率估计更好些。三、 等概率整群抽样和多阶段抽样9、邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群10户，现随机抽取4个群，取得资料如下表所示：群各户订报数11，2，1，3，3，2，1，4，1，11921，3，2，2，3，1，4，1，1，22032，1，1，1，1，3，2，1，3，11641，1，3，2，1，5，1，2，3，120试估计平均每户家庭订报份数及总的订报份数，以及估计量的方差。解：
6、由题意得到，故（份）（份）（份） 于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875，估计量方差为0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。10、某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是简单随机抽样， 样本宿舍拍照人数样本宿舍拍照人数126120703181429151100试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。解：题目已知， 在置信度95%下，p的置信
7、区间为=。四、 不等概抽样11、某公司欲了解职工上班交通所需的时间，该公司共有5个部门，根据每个部门的人数采用PPS抽样出2个部门，并在2个部门中采用简单随机抽样分别抽出5名职工，调查结果部门职工人数时间（分钟）12040，10，20，30，4023560，30，20，60，30试估计该公司职工上班交通评价所需的时间，并给出估计的标准差。 解：已知 n=2， m=5， 设公司总人数为 由于这个样本是自加权的，所以有：（分钟） （分钟）， 所以该公司职工上班交通平均所需时间为34分钟。 （分钟）。五、 系统抽样12、检查某书稿上的错别字，每隔5页检查一页上的错字数，系统抽取30页样品后的检查结1
8、0865988599910431234063503004080试估计这本书稿的平均错字数，并估计抽样方差。解：由题，N=30，k=5，则n=30/5=6则按照所给顺序等距抽样，可能样本如下： jr123456样本均值样本内方差110892305.333317.4667288103546.33337.466736544003.16676.566745930384.666711.466759916004.166718.9667对于系统抽样，作为的简单估计，是的无偏估计量，根据上表中的数据，总体方差平均样本内方差则：。六、 综合知识点13、判断题(每题 1 分,共 10 分) 1、总体比率 R 与总
9、体比例 P 两者是一样的概念，只是符号不一样。（ ）2、比估计量是有偏估计量。（ ）3、分层抽样在划分层时，要求层内差异尽可能大，层间差异尽可能小。（ ）4、对于同一总体，样本容量同抽样标准误差之间是正相关关系。（ ）5、整群抽样设计总是比简单随机抽样效率低。 （ ）6、其他条件相同时，重复抽样的误差小于不重复抽样的误差。（ ）7、设总体容量为N，样本容量n，采用有顺序放回简单随机抽样，样本配合种数为。（ ）8、一个调查单位只能对接与一个抽样单位。（ ）9、 营业员从笼中抓取最靠近笼门的母鸡，该种抽样方式属于非概率抽样。（ ）10、 当调查单位的抽样框不完整时,无法直接实施简单随机抽样。 （ ）答案：1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 ；9 ；10 。14、简述题试述抽样调差的误差及其种类。答案:在抽样调查中，一般可将误差分成抽样误差和非抽样误差两大类，抽样误差是用样本统计量推断总体参数时不可避免的随机误差，它属于一种代表性误差，非抽样误差是抽样以外的原因引起的误差，它包括调查误差，无回答误差，抽样框误差以及登记性误差，它在各种统计调查中都有可能会存在。8