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1、数学小知识集锦（三）47、算盘是我国劳动人民很早创造的一种计算工具。但我国最早的计算工具并非算盘,而是“算筹”。 算筹是用、竹或木制成的小棒,用它的多少与纵横排列可以记数,按一定的方法可用它进行多种运算。 早在两千多年前的春秋战国时期,人们就普遍使用它作加、减、乘、除、开方、解方程等运算,这称之为“筹算”.。用算筹进行这样复杂的运算,在世界数学史上也是最早的。直到明代,它才被珠算所代替。 我国最早的绘圈工具在小学数学七、九册初步几何知识中,常提到直尺、角尺、三角板、圆规等多种现代绘图工具。可我国古代最早使用的绘图工具是什么? 我国古代最早使用的绘图工具是“规”和“矩”，“规”就是圆规。甲骨文中
2、的“规”字,形状象一个人在执规画圆,可见其起源很早。“矩”由长短两尺合成,相交成直角,有的还连上一杆,使其坚固它是画方形的工具。48、时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？ 我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时、角度的单位度都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具
3、有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60 数学上习惯把这个1/60的单位叫做分，用符号来表示；把1分的1/60的单位叫做秒，用符号来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。 这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。 这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。48、圆形，是一个看来简单
4、，实际上是很奇妙的圆形。古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。 以后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。 当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子-圆的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给
5、人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。 周髀算经上说径一周三，把圆周率看成3，这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给九章算术作注。他发现径一周三只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，=
6、3927/1250。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。49、1742年6月7日由德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉的信中，提出把自然数表示成素数之和的猜想，人们把他们的书信往来归纳为两点
7、： （1）每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，。 （2）每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，99=3+7+89，。 这就是著名的哥德巴赫猜想。从1742年到现在200多年来，这个问题吸引了无数的数学家为之努力，取得不少成果，虽然至今没有最后证明哥德巴赫猜想，但在证明过程中所产生的数学方法，推动了数学的发展。 为了解决这个问题，就要检验每个自然数都成立。由于自然数有无限多个，所以一一验证是办不到的，因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想比作
8、数学王冠上的明珠。 为了摘取这颗明珠，数学家们采用了各种方法，其一是用筛法转化成殆素数问题（所谓殆素数就是素因数的个数不超过某一素数的自然数），即证明每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过a与b的两个殆素数之和，记为（a+b）。哥德巴赫猜想本质上就是最终要证明（1+1）成立。数学家们经过艰苦卓绝的工作，先后已证明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我国数学家陈景润证明了（1+2），即证明了每一个充分大的偶数都是一个偶数与一个素因数的个数不超过2的殆素数之和。离（1+1）只有一步之遥了，但这又是十分艰难的一步，然而（1+1）仍是一
9、个未解决的问题。50、在漫长的历史长河中，随着社会的发展和科技的进步，人类进行运算时所运用的工具，也经历了由简单到复杂，由低级向高级的发展变化。这一演变过程，反映了人类认识世界、改造世界的艰辛历程和广阔前景。 现在我们溯本求源，看一看计算工具是怎样演化的： 1石块、贝壳计数 原始社会，人类智力低下，当时把石块放进皮袋，或用贝壳串成珠子，用“一一对应”的方法，计算需要计数的物品。 2结绳计数 就是在长绳上打结记事或计数，这比用石块贝壳方便了许多。 3手指计数 人类的十个手指是个天生的“计数器”。原始人不穿鞋袜，再加上十个足趾，计数的范围就更大了。至今，有些民族还用“手”表示“五”，用“人”表示“
10、二十”，据推测，“十进制”被广泛运用，很可能与手指计数有关。 4小棒计数 利用木、竹、骨制成小棒记数，在我国称为“算筹”。它可以随意移动、摆放，较之上述各种计算工具就更加优越了，因而，沿用的时间较长。刘徽用它把圆周率计算到3.1410，祖冲之更计算到小数点后第七位。在欧洲，后来发展到在木片上刻上条纹，表示债务或税款。劈开后债务双方各存一半，结帐时拼合验证无误，则被认可。 5珠算 珠算是以圆珠代替“算筹”，并将其连成整体，简化了操作过程，运用时更加得心应手。它起源于中国，元代末年(1366年)陶宗义著南村辍耕录中，最初提到“算盘”一词，并说“拨之则动”。十五世纪鲁班木经中，详细记载了算盘的制作方
11、法。 到了现代，一种新型的电子算盘已经问世，它把算盘与电子计算器的长处集为一体，是一种中外结合的新型计算工具。 6计算尺 公元1520年，英国人甘特发明了计算尺，运用到一些特殊的运算中，快速、省时。 7手摇计算机 最早的手摇计算机是法国数学家巴斯嘉在1642年制造的。它用一个个齿轮表示数字，以齿轮间的咬合装置实现进位，低位齿轮转十圈，高位齿轮转一圈。后来，经过逐步改进，使它既能做加、减法，又能做乘、除法了，运算的操作更加简捷、快速。 8电子计算机 随着近代高科技的发展，电子计算机在二十世纪应运而生。它的出现是“人类文明最光辉的成就之一”，标志着“第二次工业革命的开始”。其运算效率和精确度之高，
12、是史无前例的。在此之前，英国数学家桑克斯用了22年的精力，把圆周率算到小数点后707位，以至在他死后，人们在其墓碑上刻着的707位数值，表达了对他的毅力和精神的钦佩。51、表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符号。有等号、大于号、小于号、约等于号、不等号等等。 等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“=”，读作“等于”。例如：3+2=5，读作三加二等于五。第一个使用符号“=”表示相等的是英国数学家雷科德。 大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“”，读作“大于”。例如：65，读作六大于五。 小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符
13、号，记作“”，读作“小于”。例如：56，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家哈里奥特于17世纪首先使用的。 约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“”，读作“约等于”。例如：3.14，读作约等于三点一四。 不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“”，读作“不等于”。例如4+39，读作四加三不等于九。52、自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。在实践中还常常遇到没有物体的情况。例如：盘子里一个苹果也没有。为了表示“没有”，就产生了一个新的数“零”。 “零”是一个数，记作“0”，“0”是整数，但不是自然数，它比所有的自然数都小。“0”作为一个单独的数，不仅可以表示“没有”，而
14、且是一个有完全确定意义的数，是一个起着很多重要作用的数。具体作用有： （1）表示数的某位上没有单位，起到占位的作用。例如：103.04，表示十位和十分位上一个单位也没有。0.10为近似数时，表示精确到百分位。5.00元表示特别的单价是5元整。 （2）表示某些数量的界限。例如在数轴上0是正数与负数的界限。“0”既不是正数，也不是负数。在摄氏温度计上“0”是零上温度与零下温度的分界。 （3）表示温度。在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。说今天的气温为零度，并不是指今天没有温度。 （4）表示起点。如在刻度尺上，刻度的起点为“0”。从甲城到乙城的公路上，靠近路边竖有里程碑，每隔1千米竖一个，开始第
15、一个桩子上刻的是“0”，表明这是这段公路的起点。 在四则运算中，零有着特殊的性质。 （1）任何数与0相加都得原来的数。例如：5+0=5，0+32=32。 （2）任何数减去0都得原来的数。例如：5-0=5，42-0=42。 （3）相同的两个数相减，差等于0。例如：5-5=0，428-428=0。 （4）任何数与0相乘，积等于0。例如：50=0，078=0 （5）0除以任何自然数，商都等于0。例如：05=0，0345=0。因此0是任意自然数的倍数。 （6）0不能作除数。因为任何自然数除以零，都得不到准确的商。例如：50，找不到一个数与0相乘可以得5。零除以零时有无数个商，因为任何数与0相乘都能得到
16、0，所以像50、00都无意义。53、 全体自然数可以分为三类： （1）只能被“1”和它本身整除的数叫素数，如：2、3、5、7、11。 （2）除了“1”和它本身以外，还能被其他数整除的数叫合数，如：4、6、8、9。 （3）“1”既不是素数也不是合数。 有人要问，“1”也只能被1和它本身整除，为什么不能算素数呢？而且“1”算作素数后，全体自然数分成素数和合数两类，岂不是更简单吗？ 这要从分解素因数谈起。比如，1001能被哪些数整除，其实质是将1001分解素因数，由1001=71113，而且只有这一种分解结果，知道1001除了被1和它本身整除以外，还能被7、11、13整除。若把“1”也算作素数，那么
17、1001分解素因数就会出现下面一些结果： 1001=71113 1001=171113 1001=1171113 也就是说，分解式中可随便添上几个因数“1”。这样做，一方面对求1001的因数毫无必要，另一方面分解素因素结果不唯一，又增添了不必要的麻烦。因此“1”不算作素数。54、自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如：表示捕获了3只羊，就伸出3个手指；用5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳
18、结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目1，以后逐次加1，得到2、3、4，这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6叫做自然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然数有无限多个，1是最小的自然数，没有最大的自然数55、表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的、等。 加号“”是加法符号，表示相加。 减号“”是减法符号，表示相减。 “”与“”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作简算与速算一书中首先使用的。在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认。 乘号“”是乘法符号，表示相乘。1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“”号斜过来。另一个乘法符号“”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。 除号“”是除法符号，表示相除。除号“”是三百多年前瑞士数学家拉哈首先使用的，用一条横线把两个圆点分开恰好表示了平均分的意思。