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1、姓名： 学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。半径小的圆的弯曲得厉害。曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率1.空间曲线的曲率 设给定的空间曲线是类曲线，其中为曲线的自然参数，在其上赋予Frenet标架，则参数的变化导致标架基本向量的变化，而标架的变化刻画出曲线在一点邻近的形状2。是对的旋转速度，它刻画出在点邻近的弯曲程度。对于曲线，称为曲线在点的曲率，当时，其倒数称为曲线在点的曲率
2、半径。注：曲率为对的旋转速度，并且。事实上， .定理：空间曲线为直线的充分必要条件是其曲率.证明：若为直线，其中和都是常量，并且，则；反之，若，则，两次积分后有，所以该曲线是直线。设曲线的一般参数表示为，则有 于是 因为，所以。由此得到曲率的一般参数表达式 （2.1.1）设给定空间曲线，在其上一点的主法向量的正侧取线段，使得的长度为，以点为圆心，以为半径在点的密切平面上确定一个圆，则这个圆称为曲线在点的曲率圆（密切圆），曲率圆的圆心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。例1.试求圆柱螺线，均为常数的曲率。解：因为，所以 因此 将以上各式代入曲率的公式，可得 所以圆柱螺线的曲率是常数。2.空间
3、曲线的全曲率本节记二阶连续可微的弧长参数化闭曲线为 记的全长为，全曲率；记的切线像为 总记的弧长微元。显然，当时以为正则参数，而且此时连续可微正则闭曲线的全长为5+9 （2.2.1）直接观察可知，当为圆周时。对一般的闭曲线进行观察，直观判断其“弯曲程度总和”应不低于圆周，从而可以猜断成立。的长度还可以通过观察其与单位球面的任一大圆弧的交点数目而做出猜测；事实上，对任一给定方向，以之法向必至少存在的两张切平面（允许重合但注意切点的不同），故与单位球面上的任一大圆弧的相交次数至少为2.定理：中的二阶连续可微闭曲线的全曲率，且等号当且仅当为平面上的二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理1.若闭曲线的连续的
4、切线像落在一闭半球上，则必落在的边界大圆上，且此时必为连续可微的平面闭曲线。证明：不妨令为以为北极的北闭半球面，则落在上即为。故有 而是连续函数，从而只有 此即落在的边界大圆上。进一步注意到 即知落在以为法向的某张平面之上。推论1.连续的切线像不可能落在单位球面的任一半球面内。推论2.若连续的切线像落在单位球面的任一大圆之上，则含有该大圆的无穷多个对径点。推论3.平面二阶连续可微闭曲线的全曲率，且等号当且仅当为平面二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理2.若二阶连续可微闭曲线的全曲率，则其切线像落在某一闭半球面上。证明：考虑全长的二等分点和,其中使，这由是非负连续函数可知是合理的。记上和之间的正向弧
5、段分别为和，则两弧段的相应长度为 （2.2.2）以下分两种情况讨论：情形1：和互为单位球面上的对径点，即。此时与之间的测地线大圆弧的长度为，从而都不小于；故由（2.2.2）式知都等于，从而都是半条大圆弧，则此时落在所在的闭半球面上。情形2：若和不是单位球面上的对径点对，则取与之间的测地线大圆劣弧的中点，为北极点做闭半球面，考虑与的包含关系。当上的点对与之间的正向弧段与赤道有公共点时，取一个公共点，则可分为正向弧段与正向弧段，且由（2.2.2）式可知成立相应长度关系 (2.2.3)记在单位球面上的对径点为，则与之间的测地线大圆弧段（用下划线表示）的长度恒为，特别对分别过或两点的半大圆弧有 （2.
6、2.4） （2.2.5）注意到测地线大圆弧段的最短性，由（2.2.3）、（2.2.4）和（2.2.5）式即得 从而只能有与重合且与重合，此时弧落在上当弧与赤道没有公共点时，由弧连续性可知其落在上。同理可证弧无论是否与赤道有公共点，也只能落在上。故在此情形下落在上。综合以上两种情形，得证。定理：设是中的一条打结的二阶连续可微简单闭曲线，则的全曲率不小于。3.平面曲线的曲率考察上图中由参数方程给出的光滑曲线，我们看到弧段与的长度相差不多，而其弯曲程度却很不一样。这反应为当动点沿曲线从点移至时，切线转过的角度比动点移至时，切线转过的角度要大得多10。设表示曲线在点处切线的倾角，表示动点由曲线移至时切
7、线倾角的增量。若之长为，则称为弧段的平均曲率，如果存在有限极限，则称此极限为曲线在点处的曲率。由于假设为光滑曲线，故总有 又若与二阶可导，则由弧微分可得 所以曲率计算公式为 （2.3.1.1）若曲线由表示，则相应的曲率公式为 （2.3.1.2）例1.求椭圆上曲率最大和最小的点。解:由于 因此由（2.3.1）式得椭圆上任意点处的曲率为 当时，在（长轴端点）处曲率最大，而在（短轴端点）处曲率最小，且。若，椭圆成为圆时，显然有，即在圆上各点处的曲率相同，其值为半径的倒数。例2.抛物线上哪一点的曲率最大？解：由于，因此由（2.3.2）式得椭圆上任意点处的曲率为 ，这时，即在点处曲率最大，因为，所以这一
8、点恰是抛物线的顶点。例3.如果光滑曲线以极坐标形式给出，试导出它的曲率计算公式。解：设曲线的极坐标方程为，相应的参数方程是将代入参数方程下的曲率公式中并化简，得极坐标方程表示下的曲率公式 。在研究许多问题时，在曲线的某一点附近用一段圆弧去近似地代替它会带来很多好处，显然代替时，有如下要求：（1） 圆弧与曲线都通过点,即；（2） 圆弧与曲线在点有公共切线，即；（3） 圆弧与曲线在点有相同的弯曲方向与弯曲程度，即，且与同号，因而。满足上述三个条件的圆弧所在的圆称为曲线在点处的密切圆或曲率圆11。由于密切圆与曲线在点处有公共切线，所以密切圆的圆心位于曲线在处的法线指向凹向的一侧。密切圆的半径是它的曲
9、率的倒数 设密切圆的方程是，求一、二阶导数有，由于有上述三个条件，以代入密切圆的一、二阶导数里得 由此可解得 称为曲线在点处的曲率中心。4.平面曲线的相对曲率在所在的平面上，平面曲线的每一点处有唯一的一条法线（即过该点且垂直于切线的直线），其连续可微的单位法向量场可由单位切向和所在平面的定向如下确定5，在坐标平面平面之上的弧长参数化曲线，其参数方程简记为；则其单位切向。定义1.给定二阶连续可微的弧长参数化平面曲线，其中为的单位基向量，称轴的正向到的单位切向的有向转角为的有向切线方角，简称切向角，即对有 （2.3.2.1）（2.3.2.1）式对弧长参数求导得曲率向量 （2.3.2.2）定义2.对
10、上述平面曲线，分别称 （2.3.2.3） （2.3.2.4）为的相对法向和相对曲率。显然，此时曲率是相对曲率的绝对值。相对曲率的计算公式： （1）.参数方程为参数情形时 （2）.显函数情形时 （3）.极坐标情形时 结论关于曲线的曲率，在工程技术、自然科学和日常生活中都起着很重要的作用。在工程技术上，拱桥的建设、砂轮的磨削、房屋建筑梁所能承受的最大重力等；在自然科学上，火车轨道进入弯道时的研究 、飞机座椅的研究等；在日常生活中，自行车的转弯的程度等。曲线的曲率在理论研究中也有着很重要的作用。曲率是构成Frenet公式的数据之一，而Frenet公式是微分几何空间曲线的理论基石，使用Frenet公式能解决关于空间曲线的切线、法线、密切平面、挠率等命题；曲率也反应这曲线的弯曲性质。通过此次论文写作，我更加认识到数学这门学科的博大精深。有句话说的好：学得越多，我们不知道的却越来越多了。的确是这样的。但我想这也正是我们为什么要不断学习的原因了。