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1、 海南大学2008-2009学年度第2学期试卷 科目：高等数学A（下）试题(B卷) 姓名： 学 号： 学院： 专业班级： 大题 一 二 三 四 五 六 ?七 八号 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 九 十 总分 得分 阅卷教师： 200 9 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。 一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_处填上答案。 1、设向量?121112?，则向量积； 2、(31)(831)Lxydxyxdy?_，其中L为圆盘222xy R?的正向边界曲线； 3 、改变积分的次序221101 (,)yydyfxydx?_； 4、设曲面?是下半球面222
2、zrxy?的下侧，则积分 ?222_xyzdxdy?； 5、若级数21knn?发散，则有_k； 二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内） （ ）1、设?2,1,2,4,1,10,abcbaac?且垂直于则 得分 阅卷教师 得分 阅卷教师 (A) 3 ; (B) -3 ; (C) 2 ; (D) -2 . （ ）2 、函数22(,)fxyxy?在(0,0)处为 (A) (,)fxy不连续 . ( B) ,ffxy?存在. (C) (,)fxy可微. ( D) (,)fxy沿着任一方向的方向导数存在. （ ）3、 交换积分次序20111(,)xxdxfxydy? 2
3、1011()(,)xxAdyfxydx? 20111()(,)xxBdyfxydx? 21101()(,)yyCdyfxydx? 21101()(,)yyDdyfxydx? 、 （ ）4、 幂级数nnnx)21(0?的收敛半径是（ ） (A) 3 , (B) 2 , (C) 21 , (D) 31 （ ）5 、两直线23111:,11112:21?zyxLzyxL之间的夹角为 (A) 3? ; (B) 4? ; (C) 6? ; (D) 23arccos . 三 、计算题（每小题6分，共48分） 1、设22(,)xytyfxyedt?，求?1,2,1,21,2xyxyfff及和(,)dfxy。
4、 2、 设函数(,)(,)0zzzzxyFxyyx?由方程确定，求,zzxy?. 得分 阅卷教师 3、计算三重积分zdv?，其中?为曲面22zxy?与平面4z?围成的空间闭区域 4、求过点（2，0，-3）且与直线 ?2470,35210,xyzxyz? 平行的直线方程。 5, 设 ?是由曲面222,0zaxyz?围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分?22322Ixzdydzxyzdzdxxyyzdxdy?。 6、讨论级数?13lnnna?, (a0)的敛散性。 7、计算对弧长的曲线积分222cos(),sinxatxyzdsyatzkt?其中是螺旋线 上相应于02t?从到的一段弧.
5、8、将函数? ?21fxx?展成1x?的幂级数，并求收敛区间。 四、证明题（6分，） 下： 证明：级数?111sinnnnn?是绝对收敛的。 得分 阅卷教师 五、应用题：（每小题8分，共16分） 1、建造容积为4立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？ 2、求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222xyrxzr?及所围立体的表面积。 得分 阅卷教师 2009年高等数学A(下)试题（B卷答案） 一、填空题(每小题3分，共15分) 1,(5,-3,-1) ; 2, 24R? ; 3 ，21110(,)xdxfxydy?; 4，4r?； 5， K1? . 二, 选择题(每小题
6、3分，共15分) 1, (A); 2, (D); 3, (C); 4, (B); 5, (A). 三、计算题（每小题6分，共48分） 1,解：?222222,2,2,4xyxyyxyxyxyfxyxefxyyeefxyxye? ?（2分） 因此，?55251,22,1,24,1,28xyxyfefeefe? ?（4分） ?2222,22xyxyydfxyxedxyeedy? ?（6分） 2 、解：,)(,),zzzzxyzFxyuxvyyxyx?令（ 12,.FFFFuv?记 （2分） 1212122211,xyzzzFFFFFFxyyx? （4分） 由此，1221221212,.1111yx
7、zzzzFFFFzzyxxyFFFFyxyx? （6分） 3, 解： 利用拄面坐标，得 ?2224003rzdvdrdrzdz?分 =?240164216623rrdr?分 4解：因为，?244112,16,14,11522335s? ，（3分 ） 所以，所求直线方程为 23161411xyz?（6分） , 5, 解：由高斯公式，得 ?222,Ixyzdxdydz?其中? 为上半球体：22 20zaxy?（3分） =2222000sinaddrr dr? ? =525a?（6分） 6, 解： 因为该级数是公比lnqa?的等比级数，所以 当lna1 ，即1eae时，原级数收敛（3分） 当ln1a
8、?，即ae?或01ae?时，原级数发散（6分 7, 解： 22222222220()(cos)(sin)()(sin)(cos)xyzdsatatktatatkdt? ? （3分） 2222220()aktakdt? 22223202222232(34).3kakattakak? （6分） 8，解：?011111nnxxx?（2分） ?12011111nnnnxnxxx?（4分） 收敛区间为（-2，0） （6分） 四, 证明题（6分） ?11sin12nnnnnu?分 而11nn? 是11q? 的收敛级数（4分） 即1nnu?收敛，所以1nnu? 绝对收敛（6分） 五、应用题（每小题8分，共 16 分。） 1, 设长宽分别为,xyxy4则高为因此表面积S为： 4488,)22.xyxyxyxyxyxyxy?S( （4分） 令228080SyxxSxxy?，有 （6分） 2,xy?即（2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为1， 因此，当长宽高分别为2，2，1米时，表面积最小。 （8分） 2, 由对称性知，所求面积S为第一卦限表面积?1212sss?的8倍，即 122161616DDrssdAdxdyrx?（5分） =22222001616rrxrdxdyrrx?-（8分）