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1、圆锥曲线的切线问题“方向比努力更重要” ！对于圆锥曲线与直线的位置关系的考查，历来都是比较综合的。这类题往往集函数、方程、向量、不等式等知识点于一体。 有变量多，关系复杂，运算量大，思维量大等特点。虽说“条条大路通罗马”，但如果解题方向不对，方法笨重，不仅耗时费力，问题得不到解决，而且极容易打击自己的自信心。 所以方法的选择尤为重要， 这就要求我们通过解一题探索出解一 类题的万用方法。下面通过五个题，简单介绍一下处理“过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线”（为了方便，简称为圆锥曲线的双切线问题）的比较实用的两种方法。例1、（2013广东卷）已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点F 0,c C 0到
2、直线3、2l : x y 2 0的距离为 * .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线2PA, PB，其中A,B为切点.（I ）求抛物线C的方程;（II）当点P X0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程;数思想）。再看抛物线方程很容易转化为函数,且直线 AB与切点A、B息息相关，所以此题用切点表示切线更为方便快捷!解：（I） x2 4y .（n）抛物线C的方程为x2 4y,即设 A Xi, % , B X2,y2（其中yi1 2 一 X42X1T，y21，求导得y -x22X2）,则切线PA, PB的斜率分别为4-xi , -X2 ,所以切线PA的方程为y yi22XiX 2y
3、2yi 0同理可得切线PB的方程为x?xX- 一 X22yXiXi，即 y x2Xiyi ,即22y2因为切线PA,PB均过点P Xo,yo ，所以XiXo 2yo 2y0 , X2X02 y02 y20所以Xi, yi , X2,y2为方程XoX 2y0 2y 0的两组解.所以直线AB的方程为xox 2y 2y0 0.(m)由抛物线定义可知 AF yi i, BF y2 i,所以 AF BFyi i y2 i yi y2 yi y2 ix0x 2y 2y0 0联立方程 2，消去x整理得y2 2y0 x02 y y02 0x 4y由一元二次方程根与系数的关系可得yi y2 x02 2y0, y
4、1y2 y02所以 AF BF yiy2 yi y2 i y02 址2 2y i又点P x0, yO在直线l上，所以x y0 2,2222i 9所以 y X0 2y i 2y0 2y0 5 2 y022所以当y01时，AF BF取得最小值，且最小值为9.练习i、椭圆22xy2.2abi （ab六0）的一个焦点为F为i,0）,已知椭圆的短轴的两个22三等分点与一个焦点构成正三角形（D求椭圆方程（2）已知Q （x0,y0 ）是椭圆上任一点，求以Q点为切点的切线方程（3）设P是直线x=4上一动点，过 P作椭圆的两切线 PA PR 求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标。2 X (i)7（哈半i设P（
5、4,t）,切点A（xi, yi）,B（X2, y2）,则以A、B为切点的椭圆的切线方程分别为:汹+型九丝+也4，又P点在两切线上，所以：43434xl + M = i,4+ty2=i,所以直线ab的方程为：4343仝+ ty = i,即：ty（X i）,所以直线AB恒过定点（i, 0）433练习2、A B、C是长轴为4过椭圆中心O,且AC BC0, BCE （焦点在x轴上）的三点，点 A是长轴的右端点， BC2 A，（i）求椭圆E的方程（2）在椭圆E上是否存, 一一 2在Q使得QB QA22?若存在,有几个（不必求出Q的坐标）（3）、过椭圆E上异于其顶点的任一点P作圆O： X2的两切线，切点分
6、别为 M N,若直线MN& x轴、y轴上的截距分别为 m n,求证:1_3m2分析:第（2）问用化归思想，解决这题的关键要理清 Q点的来源，一是来源于椭圆，二是来源_2_2 一于|QBQA 2?,这个式子表示的什么曲线弄清楚了，问题就解决了。问题实际转化为椭圆与某曲线的交点个数。对于第（3）问，关于圆的问题，用几何法是往往是最简洁的。22上工1443（2）两个（3）法一：设P（x0,y0）,M （x1,y1）、N （x2,y2）,则以M、N为切点的圆的切线方程分别为：XX1 yy1 = 4, XX2 3VV2 1,又P点在两切线上，所以:4X1X0 ViV。 -,X2X0 丫2丫03法二：设P
7、（X0,y0）,由题意:44-,所以直线MN方程为：x0x + y0y -33M、N、O、P四点共圆，且以OP为直径，其方程为:(X-X0)x(y yo)y0,即:XXoyy0XXoyy。0,有 M、0,则mN在圆X2y2 4上，所以直线MN的方程为:3责令x0则n=3y0，又P （x0,y。）在椭圆上,所以:2X042V。431,所以工3m23 （定值）例2: （2014广东卷）、2 X已知椭圆c：-2 a2_yr1（a b 0）的一个焦点为（J5,0）,离心率b2为巫，（1）求椭圆C的标准方程；（2）3若动点P（X0, y）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程
8、分析：这题同样是研究圆锥曲线双切线问题,但与上面几个题又有所不同，上面几个题侧重于两切点的关系，且后续部分是研究由两切点产生的直线问题。而此题更侧重于两切线的关系，讨论的是两垂直切线的交点问题，所以再用上面的方法就不太好操作了。我们还是顺从出题人吧，老老实实把切线用p点表示，再耐心地算下去。注意：点斜式适用范围。然后呢？你懂的22解：（1）土 194（2）当两条切线的斜率存在时，设过P(%, y0)点的切线为y y k xXoy Vo联立 22x y94x消去y得4 9k18k y0 kx0 x 9 y02kx036 0判别式 =182k2y。kxo_236 4 9ky。2kx04化简得y0
9、kx。9k2.-240,即 飞9 k22xyoky2 4依题意得k1 k2y2 4x2 91,即 x0 y213当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P是直线x3, x 3, y2,y的四个交点，也满足xo y2 13,故点P的轨迹方程为x2y2 132 x 练习、如图（6），设点F（ c,0）、F2（c,0）分别是椭圆C：-7a的左、右焦点， p为椭圆c上任意一点，且 （1）求椭圆C的方程；最小值为1(a0.（2）若动直线l1,l2均与椭圆C相切，且l/l2,试探究在x轴上是1)否存在定点B,点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在，请求出点 B坐标;图（6）若不存在，请说明理由.分析：
10、这个题第（2）问似乎比高考题更为复杂，两切线不是相交，而是平行，还得考虑特别急，套路就殊情形：重合。而且参数多，参数之间的关系不是一两句话就能说清楚的按套路来，准没错!是出路，选好参数，设出方程，联立方程，寻找关系，消参2解：（1） y212（2）当直线l1,l2斜率存在时，设其方程为y kx m, y kx n把11的方程代入椭圆方程得 （1 2k2）x2 4mkx 2m2 2 0;直线Il与椭圆C相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化简得m2 1 2k2 同理，n2 1 2k2，m2n2,若 m n,则 l1,l2 重合，不合题意，m n设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1,则1萼岑J 1,即 |k2t2 m2| k2 1,k2 1 ,k2 1把1 2k2 m2代入并去绝对值整理，k2(t2 3) 2或者k2(t2 1) 0前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R恒成立则t2 1 0,解得t 1当直线11,12斜率不存在时，其方程为x J2和xJ2,定点(1,0)到直线11,12的距离之积为(/ 1)(72 1) 1；定点(1,0)到直线11,12的距离之积为(短1)(72 1) 1；综上所述，满足题意的定点B为(1,0)或(1,0)