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1、2012中考数学复习圆的证明及计算专j圆的证明及计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对 解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理：(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、 圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、 弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明一一垂直关系.(6)切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中
2、几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等 都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，圆及相似 圆及面积 圆及切线 动 态圆三、解题秘笈：1、判定切线的方法：(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可 通过计算结合相似、勾股定理证垂直；(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过 圆上一点)；直线及半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理 好弧、弦、角之
3、间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添 加的辅助线.2、及圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常及勾股定理、垂径定理及三角形的 全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察 已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆 的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段及已知线段的 关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本 图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)；构造垂径定理 模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.(2
4、)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特 别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题 分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的 基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。四、范例讲解：（一）圆及相似1.（本小题满分8分）（2011山东滨州，22, 8分）如图，直线切。0于点M,直线尸。交。0 于46两点，弦月。/7必连接QM、6C求证：（1 ） ABC s POM; （2） 2OA2=OPBC.1/12、（2011山东日照）.（本题满分9分）如图，四是。的直径，力。是弦, 是。的切线，。为
5、切点，AD1CD于息D.求证：（1） ZA0O2ZACD, （2） AC = AB AD.3、（2011山东烟台，25, 12分）已知：46是。的直径，弦CALM于点G, 是直线期上一动点（不 及点从B、G重合），直线应交。于点尸，直线厅交直线于点尸.设 O0的半径为工（1）如图1,当点在直径45上时，试证明：0E01（2）当点在月6（或屈1）的延长线上时，以如图2点的位置为例, 请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明 理由.3 / 17cpD（图1）（图2）（二）圆及面积4、（2011 东营）如图，已知点A、B、C、D均在己知圆上，ADBC, BD平 分NABC,
6、 NBAD=120 ,四边形ABCD的周长为15.（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积.7 / 17DE5. （2011山东莱芜）（10分）如图，相是。的直径，弦应垂直平分半径OA,。为垂足，龙=3,连接被过点作交所的延长线于 点M.（1）求。的半径；（2）求证：/是。的切线；（3）若弦加及直径力6相交于点尸，当N4力=45时，求图中阴影部 分的面积.6、（2011 临沂）如图.以0为圆心的圆及aAOB的边AB相切于点C.及20B 相交于点 D,且 0D二BD,己知 sinA=5, ACKL（1）求。的,径：（2）求图中阴影部分的面枳.7、（2011山东枣庄）.（本题满分8分）第23
7、题图如图，点。在OO的直径A8的延长线上，点。在OO上，且力合，ZACD=120 . （1）求证：CD是OO 的切线；（2）若。的半径为2,求图中阴影部分的面积.（三）圆及切线8. （2011山东荷泽）（本题10分）如图，6为。的直径，止AC, AD交 反于点后2,吩4,求证：板（2）求相的长;延长必到F,使得B后B0,连接网,试判断直线FA及。的位置关系， 并说明理由.（第18题图）9. （2011山东聊城）（8分）如图，月6是半圆的直径，点。是圆心，点。是期的中点，QLL如交半圆于点，点是益的中点，连接班、0D,过点 作DPAE交BA的延长线于点P.（1）求/4勿的度数；（2）求证：也是半
8、圆。的切线.10. （2011山东淄博）（9分）已知：AABC是边长为4的等边三角形，点0在边AB上, 。过点B且分别及边AB, BC相交于点D, E, EFAC,垂足为F.（1）求证：直线EF是。的切线;半径.（2）当直线DF及。相切时，求。0（第21题）的（四）圆及新题型11. （2011山东德州）（本题满分10分）观察计算当a = 5,%=3时，-及的大小关系是.2当a = 4, Z? = 4时，-+及y/ab的大小关系是.2探究证明如图所示，AA6c为圆。的内接三角形，A8为直径，过。作C_LA8于，, 设 A =。，BAb.（1）分别用表示线段OC, CD；（2）探求宏及切表达式之间
9、存在的关系（用含a, b的式子表示）.归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出竽及口的大小关系是:实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜 框周长的最小值.（五）圆及动点12. （2011山东济宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4, -1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于8,。两点（点8在点。的左侧）.已 知A点坐标为（0, 3 ）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段A3的垂线交抛物线于点。，如果以点。为圆心的 圆及直线8。相切，请判断抛物线的对称轴/及。C有怎样的位置关系，并 给出证明；（3）已知点尸是抛物线上的一个动点，且位于A,
10、。两点之间，问： 当点P运动到什么位置时，APAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和 AE4C的最大面积.13 / 17（第23题）13. （2011山东德州）（本题满分12分）在直角坐标系xoy中，已知点尸 是反比例函数图象上一个动点，以尸为圆心的圆始终及y轴相切，设切点 为4（1）如图1, O尸运动到及x轴相切，设切点为，试判断四边形必R1 的形状，并说明理由.（2）如图2,。尸运动到及x轴相交，设交点为6, C.当四边形板 是菱形时：求出点4 B,。的坐标.在过4 6,。三点的抛物线上是否存在点必,使.也郎的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试 2
11、说明理由.1、【答案】证明：直线PM切。0于点M,，NPM0=901分弦 AB 是直径,A ZACB=90 2分/. ZACB=ZPMO3分VACPM, .*.ZCAB=ZP 4分AAABCAPOM5分(2) V AABCAPOM, A6分又 AB=2OA, OA=OM, :.7分/. 2OA1 =OPBC8分2、答案.(本题满分9分)证明：（1） 以?是。的切线，AZ90 , 即N/办N47390 . 2分 ： OC二。A, ：.ZACO=ZCAO, ：.ZAOO!SO -2N力。0, -ZA0C+ZACO90 .4 分2由，得：ZACD- ZAOOO,即/4妗2/月； 52分(2)如图，连
12、接6c.V AB 是直径，I. Z在 及REQ?中,D力小90口 . 6分: /A0O2/B, :./氏/ACD,:、XACM XABC, 8分，即4七月6. 9分3、【解】（1）证明：连接尸。并延长交。于0,连接Q ;尸。是。直径，：.4FDQ=9G ./啊+N0=9O .VCDLAB. ：.ZP+ZC=9Q0 .,:乙Q=：./QFD=/P.:乙FOE= /POF,: MFOEs XPOF.丝=竺.比 OP=OF=F. OF OP（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2,依题意画出图形，连接尸。并延长交。于一,连接CM是。直径，/凡M=90 , ：. ZM+ ZCFM=90 .? CD
13、LAB, /.Z5+ZP=90 .V ZM= Z A ：.ZCFM=ZE.Y /POF= /FOE, :. XPOFsXFOE.：2L=2L, :.oe op=o=f.OF OE4、解答：解：（1）.ADBC, ZBAD=120 ,，NABC=60 . 又TBD平分NABC, ZABD=ZDBC= ZADB=30;.AB=AD=DCf CD二60。AAB=AD=DC, ZDBC=90乂在宜角aBDC中，BC是圆的直径，BC=2DC.3 BC+2bC=15ABC=6 此圆的半径为3.（2）设BC的中点为0,由（1）可知0即为圆心.连接0A, 0D,过0作0E_LAD于E.在直角AOE 中，ZA0
14、E=30373.0E=0A-cos30 = 21 期期Sgg=2x3X 2 = 4.607r x 32 9，写 37r 9/ 6/T_9J3；S 阴影二S 扇形a - Saa/3 = 2/3.KIjC/C ”22工图中阴影部分的面积为-二Ji.38答案、.解：证明：3后月C,N极 ：/O/D, ：/ABO/D,又ADB,Z BAE Z EAB, ABE s3 分(2) V AABEs AADB, ：, CD, 6分2结论归纳： 也. 7分实践应用设长方形一边长为x米,则另一边长为1米,设镜框周长为/米，则X2 .9 分当，即x = l （米）时，镜框周长最小.此时四边形为正方形时，周长最小为4
15、米.10分12. (1)解：设抛物线为y = a(x-4)2l.抛物线经过点A (0, 3),3 = a(O 4)2-1. .， 抛 物 线 为y = l(x-4)2-l = lx2-2X + 344（2） 答： ，及。 C 相交.4分证明：当时，玉=2,=6.； B 为（2, 0）,。为（6, 0） . A AB = a/32 +22 =713.设。及80相切于点E,连接CE, UBEC = 90 = ZAOB.丁 ZABD = 90 , /. ZCBE = 90 - ZABO.又4Ao = 90。一ZA8O , /. ZBAO = ZCBE .AAOB sAB EC.*. *. *.6分;
16、抛物线的对称轴/为r = 4,。点至IJ/的距离为2.抛物线的对称轴/及。相交.7分解：如图，过点P作平行于），轴的直线交4c于点Q.可求出AC的解析式为. 设尸点的坐标为（m ,）,则。点的坐标为（胴，）.I113/. PQ =+-2? + 3）= 一 1/+ ；？,* S,Ac = S*八0 + SycQ = x（_-/ + 孑）x6 = 一-3）2 + i,当? = 3时，APAC的面积最大为卫.（第23题）413.（本题满分12分）解：（1）0尸分别及两坐标轴相切, PAVOA, PKV0K.，/为3/690 .17 / 17又YN月游90 ,：./PAO-/OKP-N力好90 .四边
17、形。瓦必是矩形.又：OMOK, ，四边形。瓦必是正方形.2分(2)连接收，设点尸的横坐标为x,则其纵坐标为2. X过点尸作PGIBC于G.四边形皿为菱形， ：.BOPA=PB=PC.皈为等边三角形.在 Rt心G 中，Z 7660 , PB-P忙x,PG-.XsinZ/6,即.PB解之得：产2 (负值舍去).:.PG /3 , PA=BC=2 4分易知四边形0d必是矩形，为二妗2, BGCGl,：0氏OG吩L OOOGGO?.：.A (0, W), B (1, 0) C (3, 0). 6分设二次函数解析式为：y=axbxc.据题意得：解之得：2=与,占，c=0二次函数关系式为：)，=/9分33
18、解法一：设直线外的解析式为：片X+0,据题意得： 解之得：尸/，尸-36.,直线的解析式为：yfx-36 .过点力作直线417心，则可得直线4的解析式为：y = 6x + Q.y =遥x +邪解方程组：，出,45万厂 得：；.y = .V2 -x + J3I 33过点。作直线以/所，则可设直线的解析式为：)，= x +1.,.0=373+r.t = -3/3 .J直线的解析式为：y = x-36 .y = /3x - 3近解方程组：6 2 466得：；y=Tx-x+综上可知，满足条件的必的坐标有四个，分别为：（0, 6）, （3, 0）, （4, G）, （7, 8有）.12分解法一 ：, S
19、*八8 = S、pBC =，力（0, 6）, C （3, 0）显然满足条件.延长升交抛物线于点M由抛物线及圆的轴对称性可知，P的PA.又,：AMHB3：. =SSPBA=-SuPAac.,点的纵坐标为6.2又点必的横坐标为4庐为+F聆2+2=4.点（4,有）符合要求.点（7, 873）的求法同解法一.综上可知，满足条件的的坐标有四个，分别为:（0,分）,（3, 0）, （4,分）,（7, 8. 12分解法三：延长/P交抛物线于点M由抛物线及圆的轴对称性可知，PM-PA. 又Y AM BC,J Sy =S“8c.点M的纵坐标为#即乎产=小.解得：司=0 （舍），=4 .，点M的坐标为（4,小）.点（7, 85）的求法同解法一.综上可知，满足条件的的坐标有四个：（0, 6）, （3, 0）, （4,耳）, （7, 8百）.19 / 17