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1、圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第 21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的, 运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双 曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简 单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！？定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴）,F,设倾斜角为的直线l经过F,且与圆锥曲线交于 A、B两点，记圆锥曲线的离心
2、率为为H,则e,焦点为通径长（1）当焦点在Hx轴上时，弦 AB的长| AB | 一 ；|1 e2 cos2 |（2）当焦点在Hy轴上时，弦 AB的长| AB | 2211 e sin |本文仅对焦点在x轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证2证明：设双曲线方程为三a22 1 (a0, b 0),通径 H 汉， ba离心率e弦AB所在的直线l的方程为y k (xc)(其中 k tan为直线l的倾斜角）,其参数方程为x c t cosy tsin .（t为参数）代入双曲线方程并整理得：（a2 sin2b2 cos2 ) t2 2b2ccostb4 0.由t的几何意义可得：| AB |
3、 |ti t2 |J(tlt2)24t1t22b2ccos-22a sin2ab | a2 sin2 I 2b222b cos2,22b cos |)24b2_ 22.22a sinb cos-22.a |1 e cos |2b2a22|1 e cos |H-22|1 e cos |推论H(1)焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，| AB | 2；1 e cosHHA、B不在双曲线的一支上时，|AB| 2；当圆锥曲线是抛物线时，|AB| .e cos 1sin(2)焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，|AB| 2H 2 ；1 e sin H HA、B不在
4、双曲线的一支上时，| AB | 2;当圆锥曲线是抛物线时，| AB | .e sin 1cos典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用22x y2例1 （06湖南又第21题）已知椭圆C1: 1,抛物线（y m）22px （ p 0）,且C1、43C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(I)当AB x轴时，求p, m的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB上;一 4一(n)若p 且抛物线C2的焦点在直线 AB上，求3解：(I)当AB x轴时，点A、B关于x轴对称，m的值及直线 AB的方程.m 0,直线AB的方程为x1. 33从而点A的坐标为(1,一)或(1 一).22点A在抛物
5、线C2,9 r 97 2P.即p 】489此时抛物线C2的焦点坐标为(一 ,0),该焦点不在直线 AB上.16(n)设直线ab的倾斜角为，由(I)知一.则直线AB的方程为y tan (x 1).抛物线C2的对称轴y m平行于x轴，焦点在AB上，通径H2p -,离心率e 1,于是有 3| AB|H. 2sin8,2、31 cos ）又 AB过椭圆Ci的右焦点，通径 H2b2 3 ,离心率1ABi7看H cos2|4122cos8 3(1 cos2解之得:2cos124 cos21, tanx抛物线m）在直线y tan(x 1)上,2、.631-tan ,从而m 3, 6m 时，直线AB的方程为V
6、6x y3时，直线AB的方程为 J6x、6 0.F1的直线2X（07全国I又第22题）已知椭圆 32y 1的左、右焦点分别为 F1、F2,2交椭圆于B、D两点，过52的直线交椭圆于A、C两点，且AC BD ,垂足为P.(1)设P点的坐标为(xc y0),证明:2Xo2y. 1.2(2)求四边形ABCD的面积的最小值.(1)2 X 证明：在一.2, c 1.F1PF290 ,0 是 F1F2 的中点,1/口|OP | 一 | F1F2 | c 1.得 Xo2y。21.1上.显然，圆x21在椭圆2y1的内部.22故”32y。0, b0).a b|OA|、| AB|、|OB|成等差数列，设 |AB|
7、 m,公差为 d,则 |OA| m d , |OB | m d ,(m d)2 m2 (m d)2.即 m2 2dm d2 m2 m2 2dm d2.d -，赢u又设直线ll的倾斜角为AOB2 . li的方程为btan 一 .而 tan 2atanAOB| AB|OA|2tan1 tan22 b a(b)2a解之得：b a(n)设过焦点F的直线AB的倾斜角为cossin.而 sin2tan21 tan2(2)22 cos通径H2b2b .2b - ba又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有:| MN |H422.1 e cos.5 21 丁4.解得b 3 ,从而6.所求的椭圆方程为361.
8、金指点睛1.已知斜率为1的直线l过椭圆x21的上焦点F交椭圆于A、B两点，则| AB | =2.过双曲线2y1的左焦点3F作倾斜角为的直线l交双曲线于A、B两点，则| AB|=3.2已知椭圆X2y2 2 0,过左焦点F作直线l交A、B两点，。为坐标原点，求 AOB的最大面积.4.已知抛物线为定值.2y 4Px ( p 0),弦 AB 过焦点 F,设 | AB | m AOB的面积为S,S2求证:5.22 y（05全国n又第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆X 21上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF MF 0 .求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.6
9、.2（07重庆文第22题）如图，倾斜角为的直线经过抛物线 y 8x的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点.(I )求抛物线的焦点 F的坐标及准线l的方程;(n)若 为锐角，作线段AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明|FP| |FP|cos2为定值,并求此定值7.点M与点F(0,2)的距离比它到直线l : y 3 0的距离小1.(1)求点M的轨迹方程；(2)经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B; C、D.求四边形ACBD的最小面积.2X 228.已知双曲线的左右焦点Fi、F2与椭圆 y1的焦点相同，且以抛物线y 2x的准线为5其中一条准线.(1)求双曲线的方程；(2)若经过焦点F2且互
10、相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B;C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.参考答案1.解：a2,b 1,c3 ,离心率e2b2,直线l的倾斜角|AB|Hh 221 e sin1,3 2.2 2(T) (T)2.解：a1,b、3,c2,离心率e2b26,直线的倾斜角|AB|1H22e cos623 2|1 22 ( )2 |23.2“ x3.解：一2y2 1、2,b 1,c 1占八、F( 1,0)H 生,2.a当直线l的斜率不存在时，l x轴，这时| AB | H2b引2 ,高|OF | c 1, aob 的 a12面积S 2 122当直线l的斜率存在时，设直线l的倾斜角为，则其方程为y t
11、an (x 1),即tan x y tan0 ,原点O到直线AB的距离d10 tan2、:tan0 tan | | tan | sin| sec |1AB1 1H22e cos2 cos2.22 cos22 22 sin AOB的面积S1-|AB| d2. 2 sin0Vsin0.从而2 sin2 sin、. 2 sin2sin的最大面积为 2当且仅当sin1,即时,2“二”号成立.AAOB4.解：焦点为F(p,0),通径4p .当直线AB的斜率不存在时,ABx轴,这时| AB |4p ,高 |OF | p AOB的面积-1-2S 2 1AB| |OF1 2P.S24p4 4p4 3 不.p，
12、是定值.当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为y tan(x p),即tan x yptan 0 ,原点O到直线AB的距离d| ptan| p | tan,tan21 |sec | psinH|AB| sin4P sin2 AOB的面积1 21ABid至 sino24S 4pm sin24p4 sin22sin 3 P .4P不论直线AB在什么位置,均有S- mP3 (P3为定值）.5.解：在椭圆2x2 y 1 中，a 22, b 21, c1.由已知条件,MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1),且 MNPQ.如图，设直线PQ的倾斜角为,则直线MN的倾斜角一2通径H2
13、b2 一22 ,离心率 2e .于是有2| MN |221 e sin (一 )22 22 cos2 |PQ|H1e2 sin22 sin2四边形PQMN的面积c 1八S 1|MN | |PQ|12 22 2 cos22 sin2168 sin2 2 .0, sin2 20,1.故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为16 和 2.96. ( I)解：2p 8, p 4 ,抛物线的焦点F的坐标为（0,2）,l 于 C, FD AC 于 D.通径 H 2p 8.则 | AB |I AF II AF I|EF |a I FP I I FP Icos2为定值，此定值为8.准线l的方程为x 2.(n
14、)证明：作 AC从而 I fp I LEFJ Y cos sin42I FP I I FP Icos2 I FP I(1 cos2 ) 2sin 8. sin2的距离相等,7.解：(1)根据题意，点 M与点F(0,2)的距离与它到直线l : y点M的轨迹是抛物线，点 F (0,2)是它的焦点，直线l : y 2是它的准线从而R 2, p 4. 2所求的点M的轨迹方程是x2 8y .(2) 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在.如图，设直线 AB的倾斜角为 则直线CD的倾斜角为90.抛物线的通径H 2P 8,于是有：I AB|H cos2cos2,|CD Icos2(90si
15、n2四边形ACBD的面积c 1一S 1 I AB | |CD |1882.22 cossin1282 _ , sin 2当且仅当sin2 2取得最大值1时，Smin 128,这时290 ,45四边形ACBD的最小面积为128.8.解：(1)在椭圆y2 1 中，a 55b b 1, c Q,a2 b22 ,其焦点为 Fi( 2,0)、F2(2,0).在抛物线y2 2x中，p i,其准线方程为x -p-.222在双曲线中，c 2, ca 1,bc2a23.2所求的双曲线的方程为 X2 2 1.3(2)两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，它们的斜率都存在.如图，设直线 AB的倾斜角为 ，则直线CD的倾斜角为902b22.于是有:双曲线白通径H 里 a1AB1 1H2e cos6-六h|CD1H22Z1 e cos (90)61 4sin2四边形ACBD的面积c 1-S 51AB1|CD|2 1 4cos2183 4sin2261 4sin2当且仅当sin2 2取得最大值1时，Smin18,四边形ACBD的最小面积为18.