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1、精品资源欢迎下载人口各弹1 . 3.1 二项式定理抽象问题情境化，新知大师自通对应学生用书P14问题1：我们在初中学习了 （a+b）2= a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导（a+b）3、（a + b）4的展开式.提不：（a + b）3 = a + 3a2b + 3ab?+b （a + b）4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3+ b4.问题2:上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a+b)3的展开式有4项，每一项的次数是 3; (a+b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3:你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗？提示：(a+b)4= (a+b)(a+b)(a
2、+b)(a+b).由多项式的乘法法则知，从每个 (a+b)中选 a或选b相乘即得展开式中的一项.若都选 a,则得C0a4b0；若有一个选b,其余三个选a, 则得C4a3b;若有两个选b,其余两个选a,则得C2a2b2；若都选b,则得C4a0b4.问题4:能用类比方法写出(a+b)n(n N + )的展开式吗？提示：能，(a+b)n=C0an + C1an 1b+ Cnbn.1 .二项式定理公式(a+b)n=C0an + C1anTb+C2an-2b2 + -一+ Cnanbr+-+ Cnbn(n C N+)所表示的规律 叫做二项式定理.2.相关概念(1)公式右边的多项式叫做 (a+ b)n的二
3、项展开式.(2)各项的系数Cn(r= 0,1,2,，n)叫做展开式的二项式系数.(3)展开式中的 Cnarbr叫做二项展开式的通项,记作：工上,它表示展开式的第r + 1项.在二项式定理中，如果设a=1, b=x,则得到公式(1+x)n=综+Cnx+ C2x2+ Cnxrn n J 平 7 - I展开式具有以下特点：项数：共有n + 1项;(2)二项式系数：依次为 Cn, Cn, Cn,，Cn,，Cn；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降哥、b的升哥排列展开;(4)通项Tr+i= Cnan rbr是第r+1项，而不是第r项.胆时翻高跳考点题组化，名师一点就通对应学生用书P14二
4、项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开,x枭；5.，八、“ 0 -k0z /、n 八1, /、n1 22, )、n2 /)、n r1 / n xn n(2)化间：Cn(x+ 1) -Cn(x+ 1) +Cn(x+1) - + (- 1) Cn(x+ 1) + ( DCn.思路点拨(1)二项式的指数为5,可直接按二项式定理展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.精解联羊析,-27)= C5(2x)5+c1(2x)4 (-2x2)+.+ c5(-2x2；5= 32x5 120x2+180 x135 405 _ 243丁+ 8x7 32x1(2)原式=Cn(x
5、+ 1)n+ Cn(x+ 1)n 1(- 1)+C2(x+ 1)n 2(- 1)2+ C(x+ 1)n(一 1)+ cn(-1)n=(x+1)+(-1)n=xn.一点通1 . (a+b)n的二项展开式有n + 1项，是和的形式，各项的哥指数规律是：(1)各项的次数等于n;(2)字母a按降哥排列，从第一项起，次数由 n逐项减1直到0；字母b按升哥排列，从 第一项起，次数由 0逐项加1直到n.2 .逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想. 注意分析已知多项式的特点, 向二项展开式的形式靠拢.1,求古)的展开式.解：法一：跳+&)=C0(3Vx)4 + C4(3Vx)3 t+C4(3Vx)2
6、 .最)+C3(33+C4= 81x2+ 108x+ 54+ 12+ -12 x x法二:1 4 3x+1 4 加厂x2=%8似4+ 108x3 + 54x2+ 12x+ 1)= 81x2+ 108x+54+2 x x2,求 c6+9C6+92c6+93c6+94c6的值.解：原式=J(92c2+93c6+94c4+95c5+96c6) 9=F(C0+ 91c6 + 92C2+ 93C3 + 94c6 + 95c6+ 96C6) /(C0+ 91c6)=912(1 + 9)6 92(1 + 6X9) = 92(106- 55) = 12 345. 999求二项展开式中的特定项或其系数例2 (1
7、)(江西高考)32 x3 j展开式中的常数项为()A . 80B . 80C. 40D. 40(2)(浙江高考)设二项式3xj(a0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B = 4A, 则a的值是.思路点拨求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数.精解tW (1)设展开式的通项为Tr + 1 = C51 (x2)=( 2)rc5x10所以当10- 5r = 0,即 r=2 时，Tr+1 为常数.即 6 + 1= ( 2)2C2= 40.故选 C.(2)由题意得3Tr + 1=C6x6 1卜忑/ =( a)rC6x 2，A= (-a)2C
8、2, B=(-a)4C4.又 B=4A, (-a)4c6=4(-a)2c6,解之得 a2=4.又a0, a = 2.答案(1)C (2)2一点通求二项展开式中的特定项要注意以下几点：(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；(2)二项展开式的通项是指Tr+1 = Can-rbr,如T5=T4+1=C4an-4b4,代入时不要代错值；(3)常数项是指不含字母的项；(4)有理项是指字母指数为整数的项.3.（四川高考）在x（1 + x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A. 30B. 20C. 15D. 10解析：只需求（1 + x）6的展开式中含x2项的系数即可，而含 x2项的系数为c
9、2=15,故选C.答案：C4.在3/2x-晅：的展开式中，系数是有理数的项共有（A. 4项B. 5项C. 6项D. 7项解析：Tr+1 = C20(舱x)20 r (-啦)20 rCr乂2。20 r.系数为有理数，（#）与2 3均为有理数,. r能被2整除，且20-r能被3整除.故r为偶数，20 r是3的倍数，0r20,. .r= 2,8,14,20.答案：A5.在2x2 -3 x8的展开式中，求:第5项的二项式系数及第 5项的系数;（2）展开式的倒数第3项.解：法一：利用二项式的展开式解决.2x2- 83/x JC3(2x2)5 -=(2x2)8- C8(2x2)7 3/x4仁 3/xJC8
10、(2x) .c52、3C8(2x ) .+ C8(2x2)2 -C82x2 + c8则第5项的二项式系数为 C4=70,第5项的系数为C8 24 = 1 120.3 项为 C6 (2x2)2 - 3 6 = 112x2.（2）由（1）中2x2 I、8的展开式可知倒数第 Vx.法二：利用二项展开式的通项公式解决.1 、20(1)T5=C8(2X2)8；一丁 4=C8 24 X 3 ,则第5项的二项式系数是 C8=70,第5项的系 /x数是 C4 24= 1 120.(1 (2)展开式中的倒数第 3项即为第7项，T7=C6 (2x2)8 6 工6=112x2.方法,规律.小结1 .求展开式的特定项的关键是抓住其通项，求解时，先准确写出通项，再把系数和字 母分离开来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式 求解即可.2 . C：(r= 0,1,2,，n)是二项式系数，它与展开式中对应项的系数不一定相等，二项 式系数 C一定为正，而项的系数与 a, b的系数有关，正、负不能确定.