《高考理科数学二轮专题复习讲义：专题二第二讲三角恒等变换与解三角形Word含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学二轮专题复习讲义：专题二第二讲三角恒等变换与解三角形Word含答案.docx（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二讲三角恒等变换与解三角形考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018I卷利用正、余弦定理解三角形T17命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查二角变换的 题目较少，题目往往以解三角形为 背景，在应用正弦定理、余弦定理 的同时，经常应用三角变换进行化 简，综合性比较强，但难度不大.学科素养三角变换及解三角形在学生能力 考查中主要考查逻辑推理及数学 运算两大素养，通过三角恒等变换 及正、余弦定理来求解相关问题 .n卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形T6出卷三角变换求值于4解三角形T92017I卷三角变换与正弦定理解三角形T17n卷三角变换与余弦定理解三
2、角形T17出卷利用余弦定理解三角形及面积问题T172016n卷三角恒等变换求值问题T9出卷三角恒等变换求值问题于5解三角形(正、余弦定理)T8考点一讲练结合三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论三角函数恒等变换“四大策略”常值代换：特别是“1的代换，1 = sin2升cos2 0= tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2 a+ 2cos2 a= (sin2 a+ cos2 4+cos2 a, a= ( a+ 3等;(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.全练一一快速解答1. (2018 合肥模拟)sin 18sin
3、 78 - cos 162 cos 78 =()D.2解析：sin 18 sin 78 cos 162cos 78 = sin 18 sin 78 ; cos 18 cos 78 = cos(78 18 )5= cos 60 = 2,故选 D.答案：D2. (2018高考全国卷出)若sin a= 1,则cos 2a=()387八78A.9B.9C-9D- -9解析：sin a=(, 3. cos 2 a= 1 2sin2 a= 12x”_Z2注厂 9.故选B.答案：Bsin cos。3. (2018沈阳模拟)已知tan 0= 2,则 一一 十 sin2。的值为()1 16B.717D.10si
4、n。+ cos 0解析：原式+.2 一sin 0=sin 0+ cos 0.2Asin 0. 一 .2 一tan 0+ 1 tan 0sin 0+ sin2 0+ cos2 0tan 0 + tan2 0+ 123tan仁2代入，得原式=23,故选C.答案：C4. (2017高考全国卷I)已知 a (0, 2), tan a= 2,则 cos( a-4)=解析:1 /c n ,一长(0, 2), tan a= 2,.2554一 sin a= 5 , cos a= 5 , . cos(a 4) = cos ocos 4+sin工也*(述+亚尸皿答案:3 ：1010|T类题通法/三角函数式的化简方
5、法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降哥或升哥，1”的代换，辅助角公式等.(2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin a cos a的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式讲博绪合U考点二解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论正、余弦定理、三角形面积公式b csin B sin C
6、a+ b+csin A+ sin B+ sin C= 2R（R为 ABC外接圆的半径）.变形：a=2Rsin A, b=2Rsin B, c= 2Rsin C; 旦b_-c.$旧 A=2R，sin B = 2R, sin C = 2R；c2= a2+ b2 2abcos C.a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C.a2+b2-c2，cos C= 2ab(2)a2 = b2 + c2 2bccos A, b2= a2 + c2 2accos B,b + c - aa + c - b推论：cos A =-, cos B =2bc2ac变形：b2+c2a2= 2bccos
7、A, a2+c2b2= 2accos B, a2+b2c2= 2abcos C.1 1. C 1. “(3 abc ?absin C = ?acsin B= ?bcsin A.典例(1)(2017高考全国卷I )4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0, a=2, c=亚，则 C=()兀兀A.12B.6兀兀C.4D.3解析：因为 sin B+sin A(sin C cos C)= 0,所以 sin(A+C) + sin Asin C sin Acos C =0,所以 sin Acos C+ cos Asin C+ sin
8、Asin C sin Acos C= 0,整理得 sin C(sin A+cos A)= 0, 因为 sin Cw0,所以 sin A+ cos A= 0,所以 tan A= 1,因为 A (0, nt)所以 A=3jt,由4. 也x* 1正弦定理得 sin C=c-sanA=-2一=2,又 0C1 , AC = AB+2, 最短时，BC的长是.解析：设 AC=b, AB=c, BC=a, ABC 的周长为 l,ABC的周长,.11由 b = c+ 2, 得 l= a +b+c= a + 2c+2.又 cos 60 = aF = 2,即十歹 c2.得 a c+ 2 i= a2+2 y - c2
9、,2 1 Ja 2a + 4c=；a 12a2- a+12 1l=a+2c+2=a+a1 +23（a-1 2+3（a-1）+2l 1=a1+21, 41 1=3、aT 代 e43 y 2“hF缶o）+ 4+ 2,，一，1当且仅当a-1=一1一时， ABC的周长最短, 2 a-1此时a=1+乎,即BC的长是1+乎答案：1+坐9解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第 23页悟通方法结论三角形中的常用结论A+BA+B=兀一C, -二2c _C2- 2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（4）在 ABC 中，tan A+tan B + ta
10、n C= tan A tan B tan C（A, B, C2）.典例（2017高考全国卷n ）（12分）4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已win（ 4+ C） =8in暂， L-i知 o求cos B；若a+c= 6, ABC的面积为2,求b. ? .?,一学审题条件信息想到方法注意什么信息？：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等关系 式化简时，三角形内角和定理 及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代 入思想在解题过程中的应用信息？：求cos B化已知条件为cos B的关系式信息？ ： a + c = 6信息？：三角形面
11、积为 2寻找平方后与余弦定理中a2+c2的关系式利用囿枳公式来求 ac的值规范解答（1）由题设及A+B + C=tt得sin B=8sin2,（2分）即 sin B= 4（1-cos B）, （3分）故 17cos2B_ 32cos B+15=0, （4分）解得 cos B = 1-5, cos B=1（舍去）.*.*.*（6 分）158八(2)由 cos B = , 4Si Sin B = , (7分)14八故SABc = /acsln B=i7ac. (8 分)又 SAABC = 2 ,则(9分)17ac=2 .由余弦定理及a+ c=6得b2 = a2 + c2 2accos B= (a+
12、c)2-2ac(1 + cos B) (10分)= 36 2X127X j + %=4 (11分)所以 b= 2. (12 分)1.与三角形面积有关的问题的解题模型L乐据一条布司用一j角-变展区氐石希百:条，再利用正.余弦定理化边或化角：再选面积公式后求他f根屏泰森至露面面区手加三角尻前后版展1 flfrsin C 1 acsinA：若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值二:若求值可提据条件直接求出12 .学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两练通一一即学即用(2018长郡中学模拟)在锐角 ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，且4sin
13、Acos2A73cos(B+ C) = sin 3A+V3.(1)求A的大小；(2)若b=2,求 ABC面积的取值范围.解析：(1)A+ B+C=兀，. cos(B+C)=cos A ，-3A=2A+A,sin 3A= sin(2A+A) = sin 2Acos A+cos 2Asin A ，又 sin 2A = 2sin Acos A ，cos 2A = 2cos2A1 ，将代入已知,得2sin 2Acos A+ V3cos A = sin 2Acos A+ cos 2Asin A + V3,整理得 sin A+q3cos A=F，即 sin 授课提示：对应学生用书第124页、选择题 (20
14、18 合肥调研)已知 xC(0, 7),且 cosgx 2= sin2x,则 tanx-力于(A+ 7. !=乎, 3 2又 AC 0, 2) 2 .A+3=等即 A = 3(2)由(1)得 B+C=,，C = B, 33.ABC为锐角三角形， -V-B 6 23B b 2)解得B & 2)在 ABC中，由正弦定理得2=, sin B sin C2sin B c=辽=-3- = +1,sin B sin B tan B又 Be 9 2) . .福e(0, V3)，. .ce(1,4)， 6 2 tan b?.SABC=2bcsin A=坐c, .生abcC 偿提升能力21A.1B. -133C
15、. 3D. 3解析：由 cos12x 二尸 sin2x得 sin 2x=sin2x,.1 x (0, nt)tan x= 2,tan x 11 + tan x答案：A13.(2升6；的值为()2. (2018成都模拟)已知sin a= -0,P,4出 +3B.43 ,3C. 103小一4 D.io-J 叫310衣？，2 ? C0s a= 1o，sin 2= 2sin 0cos - 2X 噜 x 噜=%亳cos 2a= 1 - 2sin2 a= 1 2 x lO0 |2= 1 - 5 = 5,.2_4X 3 1_4 13-3c0s+ 6 5X 2 -5*210答案：A3. (2018昆明三中、五
16、溪一中联考)在4ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, 若 ABC的面积为S,且2S= (a+b)2-c2,则tan C等于()c,34A.4叼C.D.解析：因为 2S= (a+b)2 c2= a2+b2c2+2ab,由面积公式与余弦定理，得 absin C = 2abcos C + 2ab, 即 sin C2cos C = 2,所以(sin C 2cos C)2=4,sin2C - 4sin Ccos C+ 4cos2C _4sin2C+cos2C所以tan2C 4tan C + 4tan2C+ 1解得 tan C=-4或 tan C= 0(舍去).3答案：Cc一.4.在 ABC
17、中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若bcos A,则ABC为(A .钝角三角形B .直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：根据正弦定理得b=snCcos A,即 sin Csin Bcos A.A+ B+ C= Tt, sin C= sin(A+ B)sin Bcos A,整理得 sin Acos B0, cos B0,2B 5. .ABC为钝角三角形.答案：A5.如图，在 ABC中，/兀C=3BC=4,点D在边AC上，AD =DB, DE AB, E为垂足.若DE = 2/2,则 cos A 等于()B-解析：依题意得,3口*=黑=黑,/一 十 /d.在ABCD中,B
18、CBDsin/BDC sin Csin 2A餐卢即 sin A _3.3sin A2sin Acos AJ2 ,由此解得cos A = .3sin A答案：C6. （2018高考全国卷I）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1, a), B(2,b),且 cos 2 a= 2,则 |ab|=()31 A.5B.15C. 5D.解析：由 cos 2 a= 2,彳导 cos2 a- sin2 a= 233cos2 a sin2 acos a+ sin a22,即21 tan a 21 + tan2 a 3tan a7.（2018武汉调研）如图，据气象部门预报,在距
19、离某码头南偏东|a-b|= g故选B.答案：B方向600 km处的热带风暴中心正以 20 km/h的速度向正北方向移动,风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）B. 15 hA. 14 hC. 16 hD. 17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A, t小时后热带风暴中心到达B点位置（图略）,在 4OAB 中，OA= 600, AB=20t, Z OAB = 45 ,根据余弦定理得 6002 + 400t2 - 2X20tX 600X?224502,即 4t2-1202t+ 1 5750,解得 3叱15 t8,令 tan A 2= t,得 tan
20、Atan Btan C=, 一 . .4当且仅当t=；,即t=2, tan A=4时，取等号.答案：C二、填空题9. （2018广西三市一联）在 ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c, asin B=sinC, cos C = 1, ABC 的面积为 4,则 c=. 3解析：由 asin B=42sin C,得 ab=42c,由 cos C=1,得 sin C = 2p, 33贝U S*BC = ：absin C=：c= 4,解得 c= 6. 23答案：610. （2018皖南八校联考）若 代以 之 cos j a；= 272cos 2 a,则sin 2 a=.2,斛析：由已
21、知得勺(cos a+ sin o)= 2-2(cos a sin a) (cos a+ sin a),所以 cos a+ sin a= 0 或 cos a- sin a= :由 cos a+ sin a= 0 得 tan a=一 1 ,因为a , 2 所以cos a+ sin a= 0不满足条件;,.11由 cos a sin a= 4,两边平方得1 sin 2 a=,11. 已知 ABC中，AB+*AC = 6, BC = 4, D为BC的中点，则当AD最小时，ABC 的面积为.解析：AC一 .ABC 的面积 S=2AC BC sin/ACB = V7.答案：712. (2018成都模拟)已
22、知 ABC中，AC = 2, BC=J6, ABC的面积为33.若线段BA的延长线上存在点 D,使/ BDC = ：,则CD =1解析：因为 SaABC=2AC BC sin/ BCA,即坐=1X V2xV6/ BDC = j,所以/ BCA=6.,所以 cos/ BCA =专.在 ABC中，AB2 = AC2+ BC2- 2AC BC cos/ BCA= 2+6-2X2X6X,322,所以AB = *所以/ ABC = ,在 BCD中,BCCDsin / BDC-sinZ DBC即幸=CD,解得CD = V3.2122答案：3三、解答题cos13） （2018武汉调研）在锐角 ABC中，内角
23、A, B, C的对边分别是 a, b, c,满足2A- cos 2B+ 2cosB r cosB != 0.(1)求角A的值；+ B 尸 0,0,(2)若b=乖且bwa,求a的取值范围.解析：（1）由 cos 2A cos 2B + 2cos1sin2B 工4得 2sin2B 2sin2A + 2 gcos2B -化简得sin A=*，1匕ABC为锐角三角形，故 A=兀一八 兀 兀兀14） . b=43Wa, ca, gWCvQ, 6Bwg,131- 2sin B 2 .由正弦定理-7a7=-bT, sin A sin B3/曰 a _, 3_2侍m一sin B?a- sin B，2由 sin
24、 BC ：,乎 得 aC 5，3）.14. (2018唐山模拟)在 ABC中，AB=2AC=2, AD是BC边上的中线， 记/CAD/ BAD = 3求 sin a : sin 3;(2)若 tan a= sin ZBAC,求 BC.解析：(1)AD为BC边上的中线，- S*ACD= S*ABD，, 11- 2AC ADsin a= 2AB ADsin 3,- .sin a： sin 3= AB ： AC= 2 ： 1.(2)tan a= sin /BAC=sin(a+ 3),sin a= sin( a+ 3cos a,2sin 3= sin( a+ 耻os a,1. 2sin( a+ 3)
25、a= sin( a+ gos a,sin( a+ gos a= 2cos( a+ 就sin a,sin( a+ 9 = 2cos(a+ j)tan a,又 tan a= sin /BAC=sin(a十 份w0,11. cos( a+ 3)= cos /BAC=2,在 ABC 中,BC2= AB2+ AC2- 2AB ACcos / BAC = 3,BC=5.15. (2018广州模拟)已知a, b, c是ABC中角A, B, C的对边，且 3cos Bcos C+22=3sin Bsin C + 2cos A.(1)求角A的大小；(2)若 ABC 的面积 S= 573, b=5,求 sin B
26、sin C 的值.解析：(1)由 3cos Bcos C+2=3sin Bsin C+2cos2A,得 3cos(B+ C) + 2= 2cos2A,即 2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A1)(cos A+ 2)=0,1解得 cos A=2或 cos A=- 2(舍去).因为0Ati,所以A = -3(2)由 S=2bcsin A=$c=5/3,得 bc = 20,因为b=5,所以c= 4.由余弦定理 a2=b2+c22bccos A,得 a2= 25+ 162x 20X2= 21,根据正弦定理sin A sin B sin C得 sin Bsin C= &sin AX si
27、n A = 7.216. （2018山西八校联考）在4ABC中，a, b, c分别是内角 A, B, C的对边，且（a+c） =b2+ 3ac.（1）求角B的大小;(2)若 b=2,且 sin B+sin(C A) = 2sin 2A,求 ABC 的面积.解析：(1)由(a + c)2= b2+3ac,整理得 a2+c2b2=ac二 2 2由余弦定理得cos B= 丁一噫:12,0B0, m0）的最小值为一2, 且图象上相邻两个最高点的距离为兀.(1)求和m的值;16(2)右 f6= 5, K,工3兀解析：易知f(x) = a/2+ m2sin(cox+ (f)为辅助角), f(x)min = 2+ m = 2,m = 2.2 TT由题意知函数f(x)的最小正周期为Tt, - 2Jt= Tt,CO3= 2.(2)由得 f(x)= *sin 2x+ 72cos 2x长6卞GJsin 0= sin7t一cos47,210 =2sin 2 0+ 2 != 2cos 2 9= 2(1 2sin2 g)