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1、直线的参数方程教学目标 ：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线 参数方程在解决问题中的作用2. 通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题 的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想3. 通过建立直线参数方程的过程， 激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度教学重点 ：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程教学难点：通过向量法，建立参数t 数轴上的点坐标与点在直角坐标系中的坐标x, y 之间的联系教学方式 ：启发、探究、交流与讨论 .教学手段 ：多媒体课件教学过程 ：一、回忆旧知，做好铺垫
2、教师提出问题：1. 曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程2. 直线的方向向量的概念3. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4. 一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程5. 如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，答复，教师补充完善，问题 5 不急于让学生答复，先引起学 生的思考【设计意图】 通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备二、直线参数方程探究1回忆数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并答复下列问题.教师引导学生明确：如果数轴原点为 0,数1所对应的点为A,数轴上点M的坐标 为t，那么：uuU
3、LUuLun uucujuir 0A为数轴的单位方向向量，0A方向与数轴的正方向一致，且 OM tOA ;当0Muuuuu与0A方向一致时即0M的方向与数轴正方向一致时，t 0 ；uiuu uuuuu当0M与0A方向相反时即0M的方向与数轴正方向相反时，t 0 ；当M与0重合时，t 0 ；uuu|0M | t 教师用几何画板软件演示上述过程.【设计意图】回忆数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择 参数做准备.2.类比分析，异曲同工问题：1类比数轴概念，平面直角坐标系中的 任意一条直线能否认义成数轴？2把直线当成数轴后，直线上任意一点 就有两种坐标.怎样选取单位长度和方向才有
4、利 于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线I上的定点M 0为原点，与直线I平行且方向向上I的倾斜角不为o时或向右i的倾斜角为o时的单位向量e确定直 线I的正方向，同时在直线I上确定进行度量的单位长度，这时直线I就变成了数轴.于 是，直线I上的点就有了两种坐标一维坐标和二维坐标.在规定数轴的单位长度和 方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的 联系.【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长 度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备.3.选好参数，柳暗花明问题1：当点M在直线I上运动
5、时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线I当成数轴后，直线I上点M一uuuuuujulu r运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有 M0M te .因此点M在数 轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线I的参数方程.【设计意图】明确参数 问题(2):如何确定直线I的单位方向向量e ?教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆为了研究 问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆.因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量.教师引导学生确定单位方向向量，在此根底上启发学生得出e (
6、cos ,sin )，从而明确直线I的方向向量可以由倾斜角来确定.当0时，sin 0，所以直线I的单位方向向量e的方向总是向上.【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的 方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想.4. 等价转化，深入探究问题：如果点Mo,M的坐标分别为(xo, y)、x, y)，怎样用参数t表示x, y ?教师启发学生回忆向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全 班交流.过程如下：因为 e (cos ,sin )，(UULUU0, ) )，M0M(x, y) (X0,y) (x x,y y)，unuur ruuuujur又MoM/e，所以存在实数t R，使得M
7、oM te，即(x x,y y) t(cos ,sin ).于是x x0 tcos ， y y0 t s in ，即x x0 t cos ， y y0 t s in.因此，经过定点M(X0,y)，倾斜角为的直线的参数方程为x x0 tcos y y tsin(t为参数).教师提出如下问题让学生加强认识： 直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量? 参数t的取值范围是什么？ 参数t的几何意义是什么？总结如下：xo,yo , 是常量，x,y,t是变量； t R ;ruujum ruuuuLiu 由于|e| 1,且M0M te，得到M0m| |t，因此t表示直线上的动点MuuuuuiuULuiU到定点
8、M0的距离.当M0M的方向与数轴直线正方向相同时，t 0 ；当m0M的方向与数轴直线正方向相反时，t 0 ;当t 0时，点M与点Mo重合.【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此根底上分析直线参数 方程的特点，体会参数的几何意义.三、运用知识，培养能力 例1.直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段 AB的长度和点M 1,2到A,B两点的距离之积.鼓励一题多解，学生可能有以先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导, 下解法：解法一：由y21 0 ，得 x2x 1x设 A(xi, yi)，yBx,y2,由韦达定理得:XiX21,(*).x1x21 .ab
9、 7i k%/(xr x2)2 4x2 42 45 怖.由* 解得x!y11-5 31.5丁，x23.5，y21 .523-.525 3； 5、厂,丁八那么 MA MB . ( 11 2 5)2(2 3 2 5)2 , ( 12所以 A(5,3-)，B(二2 215、21. 5 23 , 5 22)2 (2 2)2.3.5 .3. 5,42 .解法二、因为直线I过定点M且l的倾斜角为，所以它的参数方程是tcos34+ 3t sinxt为参数，即t为参数.解得鮎十，t2由参数t的几何意义得:ABtit2- IO ,MA MBtlt2在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善.然后
10、进行比拟: 在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法.培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力.【设计意图】通过此题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决 有关线段长度问题，探究：直线yXo t COS yo tsi n(t为参数)与曲线y f(x)交于Mi,M2两点，对应的参数分别为t1,t2 .(1)曲线的弦M1M2的长是多少?(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少?先由学生思考，讨论，最后师生共同得到:(1 M1M 2，(2) t2【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下根底, 培养归纳、概括能力.2 2例2经过点叫)作
11、直线1，交椭圆16冷1于A，B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，求直线I的方程.分析：引导学生以M作为直线I上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程 联立，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，那么由t1t20求出直线I的斜率.教师板书,过程如下:解：设过点M(2,1)的直线I的参数方程为tcos (t为参数)，tsin代入椭圆方程，整理得(3sin21)t2 4(cos2sin)80 .因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，那么t1 t24(边严)3sin 1因为点M为线段AB的中点，所以1l t2 0，即cos22sin于是直线I的斜率k
12、tan2因此，直线I的方程是y 1(x2教师引导学生课下用其他方法解决.2，即 x 2y 4思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点改为“三等分点，直线I的方 程怎样求？由学生课下解决.【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用.四、自主解决，深入理解过点P(2,0)，斜率为4的直线和抛物线y2 2x相交于A,B两点，设线段AB的3中点为M求点M的坐标.此题由学生独立完成，教师补充完善.解：设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为，由可得：cos3，sin所以，直线的参数方程为代入y2 2x，整理得8t22 3t5-t5(t为参数).15t 500 .中点M的相应参数是t匕也15
13、2 16所以点皿的坐标是(紀).【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识.五、归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结.教师在 学生总结的根底上再进行概括.1. 知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用, 体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用.2. 思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思 想.【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力.六、布置作业，稳固提高x x0 at y y bta,b为常数，t为参数，请思考1. 教材 P39-
14、1,3 ;2. 思考题：假设直线I的参数方程为参数t的意义.【设计意图】使学生进一步稳固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提 供思考的空间.七、板书设计本程，培直线的参数计说明本节课直线的参直线的参数方程3并进行例题分的应用.本节课注重知识的产生过 咅养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.在教学过程中渗透运动 与变化2数形公式类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实.本节课选择直线的参数方程的参数是比拟困难的，这是因为从确定直线的几何条 件较难联想到“距离.因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴.联系数 轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数 轴，这样直线上任意一点就可以用坐标 t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数.从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标xo,y。及倾斜角 之间 关系的问题.这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意 义.在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式.在实施教学和完 成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结 等方式效劳于“参数方程知识的重点和难点的教学中，充分表达了以人为本，鼓 励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念.本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性.