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1、 求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问
2、题。 二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 ,把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。顶点式：y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶
3、点式中，h0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，开口方向向上；a0时，函数图像与x轴
4、有两个交点。(x1,0), (x2,0);当=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。=b2-4ac0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x4时有最小值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解二次函数当x4时有最小值3，顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。抛物线的顶点为（4，-
5、3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为ya(x4)23。将（1，0）代入得0a(14)23, 解得a13y13(x4)2-3，即y13x283x73。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x3求这个二次函数的解析式.（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。