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1、1.2余弦定理二【学习目标丨1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形 3能利用正弦、弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.EF问题导学:知识点一两边及其中一边的对角解三角形b csin思考 在厶ABC中，假设B= 30, AB= 2 ；3, AC= 2,可以先用正弦定理= 求出斗sin B sin Co23.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？梳理两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：abbsin A设在 ABC中，a, b及A的值由正弦定理 丰乔 可求得Sln B= F.(1
2、)当A为钝角时,那么B必为锐角，三角形的解唯一;当A为直角且ab时，三角形的解唯一;当A为锐角时,如图，以点三角形解的个数取决于 a与CD和b的大小关系: 当aCD时，无解； 当a= CD时，一解； 当CBa b时，一解.如果ab，那么有AB,所以B为锐角，此时B的值唯 知识点二判定三角形的形状 思考1三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？ 思考 2 ABC中, sin 2 A= sin 2 B.那么 A, B一定相等吗？梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次
3、看是否有相等的边 角.在转化条件时要注意等价.知识点三 证明三角形中的恒等式思考 前面我们用正弦定理化简过acos B= bcos A,当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异.例1条件不变，用正弦定理求 c.例 1 在 ABC中, a= 8, b= 7, B= 60,求 c.利用余弦定理攏究三解的个数反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个 是几个.nj跟踪训练1在厶ABC中，角AB、C所对的边分别为a、b、c,假设A=，a=3,b= 1,那么c等于B. 2D. 3A
4、. 1C. 13 1类型二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在厶ABC中，有(1) a= bcos C+ ccos B；(2) b= ccos A+ acos C； c= acos B+ bcos A,这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.反思与感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过cos B c bcos A cos C b ccos A正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通 过正弦定理把边的关系转化为角的关系.跟踪训练2 在厶ABC中, a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证:类型三利用正弦、余弦定理判
5、断三角形形状例 3 在厶 ABC中，(a+ b+ c)( b+ c a) = 3bc,且 sin A= 2sin Bcos C,试判断 ABC的形状.反思与感悟1判断三角形形状，往往利用正弦定理、 余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断. 在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2+ c2 a2 = 2bccos A b2 + c2= b+ c2 2bc跟踪训练3 在厶ABC中，假设B= 60, 2b= a+ c,试判断 ABC的形状.甌当堂训练1在 ABC中，假设 b2 = a2 + c2 + ac,贝U B等于A. 60B. 45 或 135C. 1
6、20D. 302 .在 ABC中，假设 2cos Bsin A= sin C,那么厶 ABC的形状一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3.在 ABC中，假设B= 30, AB= 2 ,：3, AC= 2,那么满足条件的三角形有几个？规律与方法 11 两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角, 再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程， 即可求出边来，比拟两种方法，采用余弦定理较简单.2 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换.
7、3 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.4 .利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方, 通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的根本 条件.合案精析问题导学知识点一思考 能.在余弦定理 b2= a2 + c2 2accos B中，三个量 AC= b, AB= c, cos B,代入 后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可.知识点二思考1不需要如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方 便求边，假设最大边为c,可用a2+ b2 c2来判断cos C的正负而判断边或角是
8、否相等那么一目了然，不需多说.思考 2 / A, B (0 ,n ) ,.2 A,2B (0,2 n ),-2 A= 2B或 2A=n 2B,n即 A= B 或 A+ B= y.知识点三思考由余弦定理得2 | 2 2a + c b2ac2bc，去分母得a2 + c2 b2= b2 + c2 a2，化简得 a= b.题型探究例1 解 由余弦定理b2= a2 + c2 2accos B,2 2 2得 7 = 8 + c 2X 8X ccos 60 ,2整理得c 8c + 15= 0，解得c= 3或c= 5.引申探究由正弦定理，得a c bsin A sin C sin B714 3sin 60 =
9、3sinA=話紺3 cos A=1 sin 2A sinC= sin n (A+ E)=sin( A+ B)=sin Acos B+ cos Asin B/ sinsinC=17 当sinC=謬时，c=sinC= 5;当sinC=将时，c=导sinC= 3.跟踪训练1 B例2证明 方法一 (1)由正弦定理，得b= 2Rsin B, c= 2Rsin C,/ bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCCosB=2F(sinBcos C+ cos Bsin C)=2Rsin( B+ C)=2Rsin A= a.即 a= bcos C+ ccos B同理可证 b= ccos A+ a
10、cos C； c= acos B+ bcos A.方法二 1由余弦定理，得cos B=2 2 . 2 a + c b2accos2 . 2 2 a + b c2ab bcos C+ ccos B= b a2 + b2 c22aba2 + c2 - b22ac2 . 2 2 a + b c2a2 2 . 2a + c b 2a =2a2a=a. a= bcos C+ ccos B.同理可证 b= ccos A+ acos C； c= acos B+ bcos A.2 2 . 2 a + c b跟踪训练2证明方法2ac b a2 + c2 b2左边=-22=22,a + b c c a + b c
11、2ab.2 2 2 ,b + c a c b 2bc右边=厂一22, b + c a b c 2bc2 22b a + c b2 1 22,c a + b c-等工式成立.方法二右边_2RsinC2RsinBsos A方法二右边=2RsinB-2RsinCbos Asin A+ B sin Bcos A sin A+ C sin Ccos Asin Acos B cos B 亠. sin Acos C=矿C=左边-等工式成立.例 3 解 由(a+ b+ c)( b+ c a) = 3bc,得 b2 + 2bc+ c2 a2= 3bc, 即即 b2 + c2 a2 = bc,12bc 2.2 2
12、 2 .b + c a bc cos A=2bcT 0A n,. A= -3.3又 sin A= 2sin BcosC.由正弦、余弦定理,a2 + b2 c2得 a=2b2aba2+ b2- c2a , b2= c2, b= c, ABC为等边三角形.跟踪训练3 解 方法一根据余弦定理，得 b2= a2 + c22accos B B= 60, 2b= a+ c,2= a2 + c2 2accos 60 ,2整理得(a c) = 0, a= c.又T2 b= a+ c,.2 b= 2c,即 b= c. ABC是等边三角形.方法二根据正弦定理,2b= a+ c 可转化为 2sin B= sin A
13、+ sin C又 B= 60,. A+ C= 120, C= 120 A 2sin 60 = sin A+ sin(120 A , A (0 , 120 ), 整理得 sin( A+ 30 ) = 1, A+ 30 (30 , 150 ), A+ 30= 90,. A= 60, O 60. ABC是等边三角形.当堂训练1 . C 2.C3 .解设 BC= a, AC= b, AB= c,由余弦定理得 b2= a2 + c2- 2accos B, 22= a2 + (23)2 2aX2 3cos 30 ,2即 a 6a+ 8= 0,解得a= 2或a= 4.当a=2时，三边长为2,2,23，可组成三角形；当a = 4时，三边长为4,2,23，也可组成三角形.满足条件的三角形有两个.