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1、1987年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷(1)当宫二 时,画Sky=x*2x取得极小值.=0 得;oTZ求得函数的极值点，再根据二阶导数即可判斷最小值点.1* W即：K = -Ink于 1- 2xUn2 - 2x+kln2 * Ln2 - x=C21n2+zln2lti2J 2X =(2+Kln2： 2K，In2显然有；2zln20当 x=-0t： 2+xln22-l0 ini因此！当时* yw 0所以：i-丿一时 y取得极小直 血2点评匕此题主戛考蠻诵數的极值的计算，煙干基砒題.一( 2)主曲y-lr.sP - Sy=e+l-xSy=OffiSjSfif面團那的面积是丄常点；平确形血繃
2、计氫平面图形的両积计草，求岀线內交点址标，确定被积画数和送择恰当贰积歼戛童：确定離片区间，就可拿出来.解答：解：股所弼形的面积删曲勒住逐和直Hy=e+bx的交点知(“ 1) 解律：口丫Jy=e+lij 解得：=t+l-y以卅谿变量=jJ(i-j)V|t(ff+i)j-pV|：|fir对干平血图笊的面和在那么定积好求解阳选择台适的段分变量，会向化积彷贰运算.这里如果以盂为駅分变童，那么会计算两个定?MK(3)=:孑=7和及=竽=孚郝平行丘址蘇的平窗方程州厂沪DgT亠r老点；=点氏干育方稈：丽的宜法式方稈.廿析】 根低两克我杓方向向星的亍料可以得利干而护苻的扶向毘.桶据丰祠倉法式方祚可以确定辛百方
3、祚. 解笋t各根据直枝方程！ Jj -1-riT!z=2+t诵巨紬的方向向虽力、(. 0* 11 1.梅祗直蛭方稈：罕平!可女诵亘嫌的方问冋蚩力；g= (.1.11 .生于所求吁F1豆錶平行，E此所朮平茴法向堂为：i J kn= j x 0 I 1 =0:-t-j-k1 :即 L :- g 1 -)区此框据点法式方程*所求干面方程前匚0 I 3-0)4 (厂Q J - t.,3- 0J =0即匸y-0 如 lx Jh： dy-(2x 4)-(2x 2)J工力7%心D-15 m B存乐 本訓老就了格科公式川茯应甲.衽這当痔何下，塔料公式简毗岂二奘曲銭斜背的廿且.箫吾孰记畀詐灵涪运用.(5)己型三
4、堆白置空间的墓區为订二(t, t, 0) ,： h D. 1 )= to. 1, 1),射向置0= (2. 0, 0)在此甚虚下的坚标星：1. :, -1)|冋童的螺15运軍，并护：比题窕歸二昙巷査集咗方程樂豹錠，即：工1订1孑廿3孑二g鮮答；轉设在；?頁基底下的坐标加71 1巧】叽有*利点-垃匸坦需=初 卽：XJ+J2 =24屮 +JTJ 0xi+xj = 0容易解帯：xi = x2=l- xj=-lB在孑 云、云畚底下的尘标为(l I- -I)点讦巴向量的挨性运隼験叱潢践性方程组m,就耶當容易垢出来.求常数込僅等式氈宀考点:求函数棣限：潘必is法那么.分析:函数棘为糾 睥使用副达法那么求解
5、乗稠即可得也筋关套解答:lim解;2+12 (涪亦达法那么)dtlimlQ空b-QoJc显藝当：X* 口冲，| r rJa+x7J因此起八+F很限存在.5-cosjc那么有：m I b-CSEK) =Ux-*0即；b-l=0i 聊El?1予只因为当琳15产(1)设俱吕力连续可微函熱u=f xF sy FV利厲+愛】,求%孑dx ox电点:隐画数的求导法那么.分析;根据U和歹対表达式，先讓元，再根据显合函数导数旳求导的惟式法那么*即可求解.解答:解* 设盘=3萝，t=x+j洪那么ti= X S si V- g t 因此由基合画数求嗝导的链武法那么，有竽=嬰亠嬰竺y 计穴2其中f? 1示fE? s
6、对第1个变童耳求偏导，f1 2示 筈I却对第一个变量$求偏导 ox ax dsox字=今=兀1如gx atux点评:复合函數的链武求辱法那么，一定要非常穷悉，览是驶豆會函黴偏导取的基咄(2)求微分方程y “十塚十(9+a2)寸二1的通解，其申常叛adth 考点訂高阶微分方程的定义.廿析：直接积分降为二阶微芬方程.然后根据二阶非齐决徽分方程的求解方法求解.解窖：解：由* 于 1 +6y + C9+a2 yJ =1,其申常数aAE上面籌式两边同时从克h积斜得夕My十9十/) yx+ci而贰对应的齐诙微分方穫为|y十+日+訐)尸山其对应的特征方程为：r2+flt+0+a2= 0,求得特征振为；11.
7、 2=-3ai，所以，或对应的齐次黴芬方程殛解为士3再.Y=e * i d sinaa+c2cos as),设特解为；代入或，可得：Cl=-g+o2 9+F (g巧 2 i *_1c6所以：y =r9+a29+a2 (9+fl2)1所以，微幷方程y * +0yP + ( 9+a) yw = 1的逼娠为：亠3量 f1c6尹=Y-+y e(cl sinax+2 c。sJx)+x+ *“9+T H旷(P+口丄卩点评：本題考萱可降阶高阶微分方程的求解.肅注恵3阶微分方釋的通解有了个任意常歟.五(1)考点:求函数的极僖点.分析；根据导数的定爻映及根限的性质即可求解.解峯解 liffl/WVW1 LQ (
8、Jt-J)21xa 忑-口 :kp十/I工)-贞血lim =工_&x杠xar 肿一JW 因丸土当K-+a0t, x僉im x-a存在*因此e x*ajcalim/J)V(g)z0JCT 找 TP即匕 f? C a3 -0故A, D不正确.又因眾litnZM芈Qx-ay当s*aPl?( Ka)因此存在匕，当mC ( a-) (a+)时；f (S -f (a) 0即；f CkD f Ca).因此壬f是根丈値.故此题选：B.点评：痒题主宴君察函数导数的定义以滾极覘的性质，有一定滩度，属于中档题.五(2)老点h 积外上喂函數及其求导；函数连续的定置.分析；整理肯析可得I折依赖的变童解答：解：令：tx=
9、yt贝叽沪乙鈕皋tt所以；I謝认歸址詔鮒血0从而I I依前币厂不依轉于t和恥应选；亠点评I丰逼专查了积分上限函歟的性庚，是一个根底型题目，只需一个简单的变量代换即可.五( 3)捋点:分析;830 1QP利用飯数L丄友散和級数S 而舐数E(-i)w-收敛*三个级数的缩果可以得岀 科=1曲=员=10030k解：由手麺數Z飞收赛所以级数Z (-1/-3n=lnn=l旷而蛭数 2 ( if丄收數.所以駆数 Z (-1)-收数 n, nn= 1n= 1qoi +所以级戴Z (-1严+枚敛 i二曲而级敷2丄发詛，所&-级製 迟=发散,n=l旷1所以圾数Z件收纵应选：虫评s4题主妾再察圾腿的权鑽和发散的棗件
10、，庄用L匕牺判别袪可臥轻松的得出苔案.五( 4)考虫2 件随距阵的性嚴1方阵行列我的龙乂和性頂*迹訂柜眸的厅列戒与其忡蘭矩阵的行刮就之间的关丰应艮薛靑呆两卜柜阵匡问肋关苇.再分衍其产科丈间期关季 解答：解：由丽目孕时G 妙非奇昇胡F才臥故.；AA =肚區对应行列Lb卜FI*麒=血卜小:、|f | -Q11)-故逸* C.点祥*可建範韩与夏忡魄距阵高足的壬專式.是求亘亡时式时应关累的扶6L、，八8 考点;分析:求耳级数Z 一玄丹一1的枚敛域，并农其和函数.鬲级数的枚敛半径、收第区间和欣敛域由千 X =-(l-x),帚圾數可以转化为谨理式，从而解得.利馬lim叱比值判另法即可求岀收敛域,n+g u
11、rt解主lim 护 1叶1沪+厂亍所以磊禎数的收敛半径住小Q当衣=2时，帛繼数为n- 11幕级数友散;由干：令；=那么：s从而：n_j当发=-2时，幕级数为,(5,幕圾数收续;二 2K所臥扁级数的枚數城为& 2).S =-/n(W)pn=lM js = y J-】为其和函數, i n-2fl?1= 11盘池0 ircK)=- y w =-*-in(i-),xx2旷1 nJ和函数盘(x)丄点评；此题主藍考査編毎数收敛半径、吹敛区间和枚敛域，属于基聃题+七.君点I用高斯公武计算曲面积分*分析作平面为1:叮方向与用正向相同*y 3,方向写戸轴IE向相同，可臥与构成闭合曲面，蛭后利用高斯公或烘行计算.
12、JT2ff21= J k ( 8y+l) dyd工十2 C 1-y ) dzdx-4yz(ixdy- n x ( 8y-i-l) dydi + ? ( 1-y ) di ds-4yidMdy 5?工 iZi=li -d対于,刹幷高斎公式进行计算：因为Z+Ei所圉的区域为：S = l心，y，z IlWyW九x 被积函数井别为；P=s 时+1 Q=21-/八R=-4ys? 那么 I 讐晋+嚳=V+1-V-F= b 所以，由鬲斯公式有；11 =赛 Wy+l) dydz十2 1-/) dzdic-lysddy口工1= Idxdydz=y 2 ?“1 沪2令-1二申-烛=2 “ !对子，刹用按昜法计軍R
13、;12 =k (8y+1 ) dydz+2 ( 1-y) dsdx-yzdxdySi=2 (-32) dzdsSiJJ= -16 _ r dzd.7 x7+/2=-32 Ji ,从而匸1=11 I2 =34氓点评j本題考查了利用高斯公式计算第二类曲面积分的方法，其中襄注意所添加平面的方向.八.考点；务元函数连续、可导、可微的关系；连缤函数的性质；需点定理及其椎论的运用.分析： 令函数卷(K)=f (kJ p,根据零点定理，己知吕有零点；在根需反证法证明耳(xJ至名有一吓零点即可.解答乂 证明：令 ()=(：!)-sc Z (0) 1 )因为 t Df (x) oc c=f a) -Ko所以；e
14、 to)? c i)n,因为函褻f 51可微分，故fI连绑 因此g S 肯定连续根据尊点定理.可却，在蛙匡(0, 1)上，至少有一个点満足2(E)=0 W (I,1)目卩上f ( E)E=Opf Ce) =,fl设存在两个或两个啖上的点満足f 3) =k设M1，比2为其中的两个点.X1*X2.那么有：f (K1) =x b f ( X2 =X2既有* g(X1) =0;Z(Z2)-0;棍据拉格助症理宥g (si2)-g (xi)=gr ( 5) (s2-xi ) -0 I E (D, 1)因为：Kl*i2所以必有文(O-o因为耳n =* ck)-1即有：& C )=F ( ? ) -1 = 0
15、因 uh m 二1与题设矛盾.故不存在两个或者两*以上的点满足(小 立.综上所述；f 1在nE (0, 1)有且仅有一个X満疋f c k)朴点i花 *题螺舎考察了尋点走理及其推论，证咱宥一定的灵活性，属于中档题.九.址tL弓栈址的基丰定世半齐戈妊11方柱爼肯菁售解划充射忙里痔件.止题星邛齐胆址也吏程组J?E勺陶趣霜审理蛆的眉广宛陣曲狀零冇芟摆.化成仃閒常阵屯偉.二罚站样一那距阵沪祀据忑魅距阵的氏也虐广葩阵的茯弁判断方橙的僻.解;对万程绘的垢厂疋阵犧祈琴行要匿，化感仟林權死拒晖;011d3 2 b-1G 1 220 0 0a- 0.；当3*1时*中千 = r(7)=4, llL时右唯一解d3 -
16、2 bLI0 10 I 221U 0 0-10 + 10|_0 0 0空-1o _!0 0 a-1 00+1皆尸1, b = T?b中二rU=2M=Gh此时无输当i h-iPi，由于fU=rC7=24,此呻百无列邹稱,JRk3#014为口电变重，歸匸工1=-1亠工3卄工4 xj l-lxj-Zx得方程绘的一特超：=天与方程组同解的导出组尢： fil=x3-x4 竝=-8-乙4 翰:沪沁卜? 髀常，异电组叮根底斛糸fl f-q*-2-21耳=“即讥貳| Ml1yD亠0W丿U丿丿宾屮cifUcitt任左世瓠一(1 1、口=-2和=-210边丿J丿昇此时,方秤细的俑懈切点iF:此殛君吏非為空堰I生力
17、程组諒虻到土 L 一炽悵4S茎融建降的帙豹増广矩陳的糕闵关系来判商J 、非舟次蛭性丄程组的或辭-邯昙罢砒知识点*宴好 妇拿握一考点：用事件独立性进行概率计算.分析：考査N次独立重复试验的性展，以及事件A与它的互补事件Z间槪率的关系.笄且在正面求解间题比较复杂时，学会考虑间题的反面.解答；解；事件A至少集生一次的逆事件就是*事件A-次也不裟生, A至尖发斗一次的槪率負：- 1-pV.事件A至事发生一次也就是说*事件A不发生或者只发生一次.X至參发生一讫的槪率眾1一尸+叩1一戸2、 1+ Cn-1 P l-p点评;故答案知11-卩和1-5-1卩尊碑解题干的意思，才可以化簡问题*燃后在出现至多至少等
18、词汇时可以考虑从问题的反面入丰.十2考点:复杂事件的古典概率模型.利用古典槪率的性廣求第一问，第二问那么可哄利用条件槪率采解-(1)假设赦入第二个箱干的是白球，此时取岀白球的概军为：尹1=爭=! 假设放入第二牛箱千的是虹球，此时取出白規的概率为；刃=_=电,5 9451 $? 11那么取出白球的概率知p=pp2=-3 斗545记第二个繪子取出白球专事件扎第一个精予取出白球対事件乩那么所和我豁,P (A)=45P (AB)K4所以：P二F (B|l)1 y45=15亍 2323点评】1 -(1-1)2壬題主要考查古期概军的性嚴以茨条件概率的公式，属干根底题.十(3)1连续随机吏量X的槪率密度函数
19、拘：贝抹的数学期望为1 ，X的方差为丄 考点；槪率密度的性质F数学期望的性辰及其应用；方差的计算公式.分析乂通遠观察，可以看出f &)內有点关骰干正态待布的槪率窖度函歎，于是可以將方程f以)化简，然層求出X的分布.解答：解：由总=花一工+4一1,可以娈帘得从而f (x)弟式対正态分布宅度函勲,所以&N( 1，) 所以數学期望为1，万差为;点评主 此题主茎考查概率密度函數肉性质以喪数学鄭望的性质，厲干简单题.十一.10x 0,贝低与Y的联含槪率密度函数为，皿加=加艸尸八假设刃呵电假设兀，卩华Q对千性意的室数令1= x, y 2i+yt,III 2X+Y的幷冇凿数力1，假设LI-/T,假设0tl 总-/T,假设 Y0尸=P2JT+y0= n /工，ydxdy J DCDdxdy 什如芒T假设Glr J；曲；八亦4宓i二尹咖 假设Qri =I Uh 严 0dy,假设 f 0co I尸手是曲十Y的概率密度宙数为f 0,假设住1坏尸警=1-丸假设DW点筋|此题主要考箜槪率密度函数的解袪以茨联合分布的求牯I属于中等难晓题.