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1、2. 2.1综合法与分析法【明目标、知重点1 1. 了解直接证明的两种根本方法一一综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.填要点记疑点1 .综合法从条件出发，经过逐步的推理，最后到达待证结论.2. 分析法从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件，最后到达题设的条件或已被证明的事实.探要点究所然由，得B= 3，由a, b, c成等比数列，有b2= ac, 由余弦定理及，2 2 2 2 2可得 b = a + c 2accos B= a + c ac,再由，得 a2 + c2 ac = ac,即a c2= 0, 从而a= c,所以A= Cn由，
2、得A= B= C=,所以 ABC为等边三角形.反思与感悟 综合法的证明步骤如下:1分析条件，选择方向：确定条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等;2转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.AC cos B证明：B= C跟踪训练飞+ r a 1a 2+ 号a 3:a t：.：a 1试 a 2 *. ya 3.反思与感悟当条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合条件，用结论反推的方法.跟踪训练2 求证：3+ ：72 ：5.证明因为.3 + :,7和 2 ：5都是正数，所以要证：3+ ；72 ：5，只需证：3+ ：722 ；5
3、2,展开得10+ 2 2120，只需证，215，只需证2125,因为2125成立，所以:3 + ：72 -5成立.探究点三综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论 P.假设P? Q那么结论得证.n例3 a ,卩工kn+ y(k Z)，且sin 0 + cos 9 = 2sin a ,心ABC中, ab=赢飞,证明在厶ABC中，由正弦定理及得sin B cos B sin C cos C是 sin
4、Bcos C cos Bsin C= 0,即 sin( B C) = 0，因为一n B- C aba0, b0是怎样证明的?答要证ab,只需证a + b2 ab,只需证 a + b 2、.：1 ab?0,只需证一 a , b 20,因为a . b20显然成立，所以原不等式成立.思考2证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明， 寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.小结 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 条件、定理、定义、公理为止，这种证明方法 叫做分析法.思考3综合法和分析法的区别是什
5、么？答综合法是从条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结 论出发，逐步靠拢，每步寻找的是充分条件.例 2 求证：a a 13.证明方法一一 要证 pa,：a 1二戶一2 , a 3,只需证a+ 話a 3 : a 2 + ：._a 1,只需证飞：a+ a 3 飞;a 2+：，a 1,只需证 2a 3 + 2 a* sin 2 3， 3a2a 3+ 2a2 3a+ 2,只需证 a 3aa 3a+ 2,只需证02，而02显然成立，所以 i.：a a 1_a 2 + a 30,1 12证明 因为(sin 9 + cos B) 2sin 9 cos B= 1,所以将代入，可得2 2
6、21 tan 卩4sin a 2sin 3 = 1.1 tan a另一万面，要证2 =+ ,1 + tan a 2 1 + tan 3. 2sin a1 2cos a 即证Lsin a1 + 2-cos asin +2- cos 3 31 23cos 3即证2 . cos a sin=2(cos 2 3 sin 2 卩),即证1 2sin 2 a=1 2sin 23 ),即证2 24sin a 2sin 3 = 1.由于上式与相同，于是问题得证.反思与感悟用P表示条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，那么综合法和分析法的综合应用可用框图表示为:P? Pit P1? P2R? P, ?
7、 , Q ? QQ? Q跟踪训练3 假设tan a +卩=2tan a，求证：3sin卩=sin2 a +卩.证明 由 tan( a + 3 ) = 2tan a ,pSina + 32sina得=cosa + 3cos a 即 sin( a+ 3 )cos a = 2cos( a + 3 )sina .要证 3sin 卩=sin(2 a + 卩),即证3sin(a + 卩)a = sin( a + 卩)+ a即证3sin(a + 3 )cos a cos( a + 3 )sin=sin( a +3 )cos a + cos( a + 3 )sin化简得sina + 3 )cos a = 2c
8、os( a + 3 )sin这就是式.所以，命题成立.当堂测查疑缺1.yx0，且x+ y= 1,那么A.x + y xy2xyB.x + y2xyxyC.x + yx 2 2xyyD.x + y x2xy 2 x0，且 x + y = 1,.设 y = 4, x= 4,那么号y = 2 2xy = 8,a x2xyXyy,应选 D.2欲证 2 3 6 _ 7成立，只需证()A. (2 3) tan a/= 1, 2+ tan a 1 tan a = 2+ tan a ,即 2tan a= 1.1 tan a = 2显然成立，(67)2B. (2 6)2(37)2C. (2 +7) 2(3+,
9、6)2D(2 3 6) 2b0时，才有a2b2,即证：-.;2+.丿7、.,6 + .3，只需证：( 2+ 7) 2( ,3+6)2.3. 要证明3+70,求证：a(b + c) + b( c + a) 4 abc.证明 因为 b* 2 + c22 be, a0,所以 a(b2+ c2) 2 abc.又因为 c + a 2ac, b0,所以 b(c + a) 2 abc因此 a( b + c) + b( c + a) 4 abc.总结：此证明过程运用了综合法.一般地，禾U用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.思考2 综合法又叫由因导果法，其推理
10、过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜测，所以综合法是演绎推理.例1在厶ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为a，b，c，且A B, C成等差数列，a， b，c成等比数列，求证： ABC为等边三角形.证明 由A, B, C成等差数列，有2B= A+ C,由于 代B, CABC勺三个内角，所以 A+ B+ C=n .2sin 0 cos 0 = sin (3.2 21 tan a 1 tan 3求证：2=匸 .1 + tan a 21 + tan 3结论得证.呈重点、现规律1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证、“只需证、“即证等词语.