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1、第十三章 推理与证明、算法与复数 第2讲 直接证明与间接证明练习理新人教A版根底稳固题组建议用时：35分钟一、选择题1.用反证法证明命题“设 a, b为实数，那么方程x3 + ax+ b= 0至少有一个实根时，要做的假设是A. 方程x3+ ax+ b= 0没有实根B. 方程x3+ ax+ b= 0至多有一个实根C. 方程x3+ ax+ b= 0至多有两个实根D. 方程x3+ ax+ b= 0恰好有两个实根解析 因为“方程x3 + ax+ b= 0至少有一个实根等价于“方程x3+ ax+ b= 0的实根的个数大于或等于1，所以要做的假设是“方程3x + ax+ b= 0没有实根答案 A2.假设a
2、, b R,那么下面四个式子中恒成立的是2A.lg(1 + a)02 2B.a + b 2(a b- 1)2 2C. a + 3ab2ba a+ 1解析在B中,2 2 2 2 2 2a + b 2 (a b 1) = (a 2a+ 1) + (b + 2b+ 1) = (a 1) + (b+ 1) 220, a + b?2( a b 1)恒成立.答案 B3.m1, a= pn+ 1 Jm, b=mpn 1，那么以下结论正确的选项是A. abB. a/m+ n 10( m 1),1 1甘 n+1 + h rn n+ , n 1，即 a bc,且 a+ b+ c= 0,求证 b2 acv .3a索
3、的因应是()B. a c 0D.( a b)( a c) v 0A. a- b 0C.( a b)( a c) 0解析由题意知.b2- ac v 3a? b2 acv 3a22 2?(a+ c) acv 3a2 2 2? a + 2ac+ c ac 3a v 022? 2a + ac+ c v 02 2? 2a ac c 0? (a c)(2 a+ c) 0?( a c)( a b) 0.答案 C5. p3 + q3= 2,求证p+ qw2,用反证法证明时，可假设p+ q2;a, b R,| a| + | b| 1.以下正确的选项是()A. 与的假设都错误B. 与的假设都正确C. 的假设正确；
4、的假设错误D. 的假设错误；的假设正确解析 反证法的实质是否认结论，对于，其结论的反面是p+ q 2,所以不正确；对于，其假设正确.答案 D二、填空题6. +J7与2眾+寸5的大小关系为 .解析要比拟. 6 + ,7与2 2 + 5的大小，只需比拟C.6 + .7)2与(2、,2+5)2的大小，只需比拟6 + 7+ 2 42与 8+ 5 + 4 10的大小，只需比拟.42与2.10的大小，只需比拟42与40的大小，/ 4240, , 6+ , 72 . 2+ 5. 答案6+ 72 2 + 5b a7. 以下条件：ab0，ab0, b0,a0, b2成立的条件的a b序号是.babb a解析 要
5、使一 +匚?2,只需-0成立，即a, b不为0且同号即可，故能使+-2a baa b成立.答案8. 设a，b是两个实数，给出以下条件： a+ b2；a + b 2.其中能推出：“ a，b中至少有一个大于1的条件的是 (填序号).答案 三、解答题1 1 19. 1设 a0，bo,a+ b=1求证:a+ b+ 旷8 a, b, c是全不相等的正实数，求证:证明1 t a+ b= 1,111 a+ b a+ b a+ ba+ b+ aba + b + abb+ c- aaa+ c- bba+ b-c 3.ca+ ba+ b 2b a a+ bb a=1+a+1+b+苛?2+2 玄 b+=2+ 2 +
6、 4= 8,当且仅当a= b=时，等号成立t a, b, c全不相等，且都大于0.c a c b与，匸与全不相等,a c b cb a c a c b二 a+ b2, a+c2, b+c2,三式相加得b c c a a b a+a+b+b+c+c6,b cc aa ba+a-1 + b+丁1 + c+ c-1b+ c a a+ c-b a+ b-c即+ 3.abc10.数列an的前n项和为S,且满足an+ S= 2.求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解 当 n= 1 时，a1 + S = 2a1= 2，贝V a1 = 1.又 an + S1 = 2，所以
7、 an+ 1+ Sn+ 1= 2 ,1 1 1两式相减得an+ 1= -an,所以 an是首项为1，公比为-的等比数列，所以 an=歹一1.ap+1,aq+1, a+1 pvqvr,(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 且 P, q, r N*),1 _ 1 12q= 2P + 2r，所以22r _p+ 1.又因为 Pqr，所以 r q, r p N.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证能力提升题组(建议用时：20分钟)x1a+ b2ab11.函数 f (x) =, a, b 是正实数，A= f,B= f (ab),C= fTb，那么 AB,
8、C的大小关系为()A. Aw Bw CC. B2ab2a+ b，又 f(x)=f ( ab) w f2ab a+ b .B.AW C 0, b 0, c0,1 , 1 1 1 , 1 a+ + b+ c + = a+ b+bcaab1c+- 6,当且仅当a= b= c = 1时，“=成立，故三者不能都小于2，即至少有一个c不小于2.答案 D13. 凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意X1,X2,Xn,(X2)+ + fn(Xn )w f(X1 + X2+nXn),函数y = sin x在区间(0 ,n )上是凸函数，那么在 ABC中, sin A+ si
9、n B+ sinC的最大值为解析/ f (x) = sin x在区间(0 ,n )上是凸函数，且A、B、C (0 ,n ).f (A) + f ( B+ f (C)A+ B+ Cw f即 sin A+ sin B+ sin C0)的图象与x轴有两个不同的交点，假设 f(c) = 0,且 0x0.1(1)证明：匚是函数f(x)的一个零点；a试用反证法证明ac.a证明(1) f(x)图象与x轴有两个不同的交点, f(x) = 0有两个不等实根 X1, X2,T f (c) = 0,. X1= c是 f (x) = 0 的根，x1x2 = a，1x2=a/c11 -是f(x) = 0的一个根.即 是函数f(x)的一个零点 aa11(2)假设 0,由 0x0 ,aa知 f a 0 与 f a = 0 矛盾，二c,1又了c,1 一 c.a