《环同态基本定理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《环同态基本定理.ppt（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,三、环同态基本定理,定理3.5.3,定理3.5.1,定理3.5.2,例3,例4,3.5 环的同态,一、环的同态,定义3.5.1 -同态,例1,例2,二、环同态的一些性质,例5,定理3.5.4 -环同态基本定理,例6,四、环的扩张定理,定义3.5.2 -核,例7,例8,定理3.5.5 -环的扩张定理,例9,一、环的同态,定义3.5.1 设 和 为两个环, 是集合 到 的,映射. 如果对任意的 , 有,以及,则称 为环 到环 的一个同态映射（homomorphism）,简称同态.,由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.,又如果同态映射 是单映射, 则称 为单同态,(monomorphis
2、m); 如果 是满映射, 则称 为满同态,(epimorphism), 此时, 称环 与 同态, 记作：,; 如果 既是单同态, 又是满同态, 则称 为,同构(isomorphism). 此时, 称环 与 同构, 记作:,. 与群的相应概念类似, 环的同构是环之间的,一个等价关系, 并且同构的环有完全相同的代数性质.,例 设 与 是两个环. 对任意的 ,令,则对任意的 ,所以 是 到 的一个同态. 这个同态称为零同态(zero,homomorphism).,例2设 , . 对任意的 ,令,则 为 到 的满映射. 又对任意的 ,从而 为 到 的满同态.,例3设 是环，是 的理想.对任意的 ,令,
3、则 为 到它的商环 的满映射.又对任意的 ,所以 为 到它的商环 的一个满同态. 这个同态称,为自然同态(natural homomorphism).,二、环同态的一些简单性质,定理3.5.1 设 为环 到环 的同态, 则,(1) .（ 为 中零元， 为 中零元）,(2) ， .,(3) ， .,（按定义即可证）,定理3.5.2 设 与 都是有单位元的环，与 分,别是它们的单位元, 是 到 的环同态.,(1) 如果 是满同态, 则 ;,(2) 如果 为无零因子环, 且 , 则,(3) 如果 , 则对 的任一单位 , 是,的单位, 且 .,证(1) 对任意的 , 因 是满映射, 所以存,在 ,
4、使 . 则,因此, 是单位元, 由单位元的惟一性得 .,(2) 令 , 则 , 从而,因为 无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去,得 .,(3) 设 为 的任一单位, 则,所以 是 的单位, 且 .,三、环同态基本定理,定义3.5.2 设 为环 到环 的同态映射. 称集合,为环同态 的核(kernel), 记作: .,定理3.5.3 设 为环 到环 的环同态, 则,为 的理想.,证对任意的 , , 有,则 , 所以 为 的理想. ,例4 对于本节例1、 例2、 例3中的环同态 、,和 , 它们的核分别是,， ，及 ,例5 设 , ,令,则 为 到 的满同态, 并且,证(1) 对任意的
5、, 存在 ,使,则,所以 为 到 的映射.,(2) 对任意的 ,所以 为 到 的环同态.,(3)对任意的 ,有 使,所以 为 到 的满同态.,(4)设 ,存在 , ,使,则 , 所以 , 从而,. 又对任意的 , 显,然有 . 由此得,定理3.5.4(环同态基本定理) 设 为环 到环 的,满同态, 则有环同构,证(1) 记 , 则为 环 的理想. 对任意,的 , 令,设 , 即 , 则 , 从而,于是,所以 是 到 的映射.,(2) 对任意的 , 有,所以 是 到 的同态映射.,(3) 对任意的 , 因为 是满同态, 所以存在,使 . 从而,于是, 是 到 的满同态.,(4)设 , 如果 ,
6、则,从而 , 由此得 . 所以 是 到 的单同,态.,这就证明了 是 到 的同构映射, 即,注如果利用群的同态基本定理, 可以使上述证,明大大简化.只要再证明 保持运算即可,例6 由本节例2和例4知, 是 到 的满同态,且 , 则由环同态基本定理得,例7在本节例5中, 是 到 的满同态且,从而由环同态基本定理得,例8(环的第二同构定理)设 为 的子环，为,的理想, 则 是 的理想且,证 首先 是一个子环这里要说明的是，两个,个子环的和不一定还是一个子环，但当其中一个是理,想时，根据定理3.1.3易证明它们的和是一个子环,显然 为环 的理想, 从而有自然同态.,因而 在 上的限制,为 到 的同态
7、.,又对任意的 , 有,所以 为满同态. 而,从而 是 的理想, 且由环同态基本定理知, 有如,下的环同构,四、环的扩张定理,定理3.5.5(环的扩张定理) 设 与 是两个没有,公共元素的环, 是环 到环 的单同态. 则存在一个与,环 同构的环 及由环 到 的同构映射 , 使 为 的,子环且 .,证(1) 令 . 对任意的 ,规定,则 是 到 的映射且 . 又由 与 没有公共元素,这一条件可知 还是 到 的一一对应（见图3.5.1）.因,为当两个象相等时，若两个象都是 的形式，由 的,单映射性，原象同；若两个象都是 的形式，显然原象,同；若一个是 ，一个是 的形式，则原象一个属，,于 ，另一个
8、不属于 而属于 ，原象当然不同,图3.5.1,(2) 对任意的 , 规定,易知, 如此定义的加法与乘法是 的代数运算.,(3) 由环的定义直接验证可知 构成环. 且对,任意的 ,所以 是 到 的环同态. 又因为 是一一对应，即 既是,单的, 又是满的, 所以 是环同构:,(4) 由 的定义知 为 的非空子集, 且对任意的,同理可证,从而知 的加法与乘法在 上的限制就是环 的加法与,乘法, 所以 为 的子环.,定理3.5.5是一个非常有用的定理, 它使我们可将,一已知的环扩大为某一具有特定性质的环. 注意在定,理3.5.5的证明中, 集合 是通过在 中先将 的象,挖去, 再补上集合 而得到的(这
9、一过程常称作将 嵌入,于 中), 所以定理3.5.5也称作挖补定理.,例9设 是一个没有单位元的环, 则存在一个有,单位元的环 , 使 为 的子环.,证(1) 令 . 对任意的, 规定,易知 关于如此定义的加法与乘法构成一个环.,(2) 对任意的 , 有,即 是 的单位元. 所以 是有单位元的环.,(3) 对任意的 , 令,则 为 到 的单同态. 又显然 与 没有公共元素,从而由定理3.5.5, 存在 的扩环 使 . 因 是,有单位元的环, 所以 也是有单位元的环. ,参考文献及阅读材料,1 J. A. Gallian, J. Van Buskirk, The Number,of Homomorphisms from into American,Mathematical Monthly (1984)91: 196-197,文中给出了从 到 的群同态的个数以及从 到 的,环同态的个数.,