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1、23.13分2021?海南如图,正方形ABCD的对角线相交于点 O, / CAB的平分线分别交 BD,BC于点E,F, 作BH丄AF于点H,分别交AC,CD于点G,P连接GE,GF.1求证: OAE OBG;2试问：四边形BFGE就是否为菱形？假设就是，请证明；假设不就是，请说明理由；解答：1证明：四边形 ABCD 就是正方形， OA=OB, / AOE= / BOG=90 / BH 丄 AF, / AHG=90 / GAH+ / AGH=90 / OBG+ / AGH, / GAH= / OBG,即卩 / OAE= / OBG.在厶OAE与厶OBG中ZOM=ZOBGOA=OBZaoe=Zbo
2、g四边形BFGE就是菱形，理由如下：在 AHGCZGAH=ZBAHAH二 AHIzahg=Zahb=90 EG=EB,FG=FB. T / BEF= / BAE+ / ABE=67、 / BEF= / BFE AHG AHBASA,与厶AHB中, GH=BH, AF就是线段BG的垂直平分线,5:/ BFE=90。-/ BAF=67、5 EB=FB, EG=EB=FB=FG, 四边形 BFGE 就是菱形;PG_.! =AG-=1+屈b|由1 OAE OBG 得 AE=GB, 七十:-吩设OA=OB=OC=a,菱形GEBF的边长为b. t四边形BFGE就是菱形， GF / OB, / CGF= /
3、 COB=90 ，/ GFC= / GCF=45 CG=GF=b,也可由 OAE OBG 得 OG=OE=a - b,OC- CG=a - b,得 CG=b OG=OE=a - b,在Rt GOE中，由勾股定理可得:2a- b2=b2,求得a= AC=2a=2+ ：打b,AG=AC - CG=1+ 二b/ PC / AB, CGPs AGB,伍-1,23.202113分1如图点P就是正方形 ABCD的边CD上一点点P与点C,D不重合，点E在BC 的延长线上，且CE=CP,连接BP,DE.求证:BCP DCE;如图直线EP交AD于F连接BF,FC点G就是FC与BP的交点. 假设CD=2PC时，求
4、证:BP丄CF; 假设CD=n?PCn就是大于1的实数时，记ABPF的面积为Si,ADPE的面积为S2.求证:Si=(n+1)S2.证明:(1)在厶BCP与厶DCE中，fBC=CDZBCP=ZDCE=-30 , lcP=CE BCP DCE(SAS).(2)T CP=CE, / PCE=90/ CPE=45 / FPD=Z CPE=45 / PFD=45 FD=DP./ CD=2PC, DP=CP, FD=CP.在厶BCP与厶CDF中，BC=CDZbcpZcdf=o,CP=fT BCP CDF(SAS)./ FCD= / CBP,/ CBP+ / BPC=90 / FCD+ / BPC=90,
5、aZ PGC=90。，即卩 BP丄CF.证法一：设 CP=CE=1,那么 BC=CD=n,DP=CD - CP=n - 1. 易知 FDP为等腰直角三角形， FD=DP=n 1.S1=S 梯形 BCDF - Sa BCP - SFDP(BC+FD) ?CD -BC ?CP -丄FD?DP1 =F n+n -1)? n-g n xi-DGS2=ycxDE迟3AQ十1);*(n - 1)xi=g(n - 1).冷P?CE=/ n2-仁(n+1)(n - 1),二 S仁(n+1)S2.证法二：/ AD / BE, FDPs ECP, Sa DCE=SaBED, I/ DP:CP=n 1, - S2=
6、Sa BED.n (nfl)T AD / BE, Sabef=Sabed,- S仁(n+1)S2.AC上口c/ BC:CE=CD:CP=n.23.(11分)(2021?海南)如图(1),在矩形ABCD中把/B、/ D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线D的点E、F处，折痕分别为CM、AN,如以下图所示，连接BD.n- 1PETPC1S仁(1) 求证: ADN S CBM;(2) 请连接MF、NE,证明四边形 MFNE就是平行四边形；四边形MFNE就是菱形不？请说明理由； 点P、Q就是矩形的边 CD、AB上的两点 旌接PQ、CQ、MN,如图所示 假设PQ=CQ,PQ / MN,且 AB=4cm,B
7、C=3cm,求 PC 的长度.解答:(1)证明：由折叠的性质得出 / DAN= / NAC, / BCM= / ACM,/ AD / BC, / DAC= / BCA, / DAN= / BCM,在 Rt ADN 与 Rt CBM 中,AD=BCZDZB=90* , ADN S CBM,ZDAN=ZBCm解:连接 NE、MF, / ADN S CBM, NF=ME, / Z NFE= / MEF, NF / ME,四边形MFNE就是平行四边形，：MN与EF不垂直,四边形MFNE不就是菱形；解:设AC与MN的交点为 O,EF=x,作QG丄PC于G点，/ AB=4,BC=3, AC=5, / AF
8、=CE=BC=3, 2AF - EF=AC,即 6 -x=5,解得 x=1, EF=1, CF=2,在 Rt CFN 中,tanZ DCA=湮=实=空,解得 NF=g / OE=OF=丄 EF),四直& 42i 2在 Rt NFO 中,ON2=OF2+NF2,. ON,a MN=2ON=认62/ PQ / MN,PM / MQ, 四边形 MQPN就是平行四边形， MN=PQ10, / PQ=CQ, PQC就是等腰三角形，PG=CG,在 Rt QPG 中，PG2=PQ2 - QG2,即 PG=JQ*=1, PC=2PG=2.23、(2021?海南)如图，在菱形 ABCD中,Z A=60点P、Q分
9、别在边 AB、BC上，且 AP=BQ.(1)求证: BDQS ADP;AD=3,AP=2求cosZ BPQ的值(结果保存根号).1分析：(1 )由四边形 ABCD就是菱形，可证得 AD=AB,/ ABD=/ CBD/ ABC,AD/ BC又由/ A=60,易得 ABD 就是等边三角形，然后由SAS即可证得 BDQBA ADP;(2)首先过点Q作QE丄AB,交AB的延长线于E然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定 理,即可求得PQ的长，那么可求得cos/ BPQ的值.1解：(1)t 四边形 ABCD就是菱形， AD=AB,/ ABD=/ CBD / ABC,AD/ BC,/ /
10、 A=60 , ABD就是等边三角形，/ ABC=120, AD=BD,/ CBD=/ A=60 / AP=BQ,. BDQB ADP(SAS);(2)过点 Q 作 QE丄 AB,交 AB 的延长线于 E,v BDQ ADR： BQ=AP=2,v AD/ BC/. / QBE=60,BE=QB?cos60,X AB=AD=3,/ PB=AB- AP=3- 2=1, QE=QB?si n6023、(2021?海南11分)如图10,四边形ABC与四边形AEFG匀为正方形，连接BG与 DE相交于点H.(1)证明： ABG ADE; (2)试猜想BHD勺度数，并说明理由；(3) 将图中正方形 ABCD
11、绕点A逆时针旋转(0 BAE v 180 ),设 ABE的面积为S1 , ADG勺面FE图10(1)证明：在正方形ABCD与正方形AEF卿/ GA匡/ BAD90 / GAEf EAB=Z BAD+EAB 即/ GAB=Z EAD 又 AG=AE AB =AD :. ABGA ADE 我猜想/ BHD=90理由如下：/ ABGA ADE /-Z 1=f 25 分而/ 3=Z 4 /Z 1+Z 3=Z 2+Z 4vZ 2+Z 4=90Z 1 + Z 3=906 分Z BHD=907 分证法一：当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0Z BAE： 180时,S1与S总保持相等.8分证明如下：由于0Z BAE 180因此分三种情况：当0Z BAE 90时(如图10)过点B作BML直线AE于点M,过点D作DNL直线AG于点N.vZ MAI=Z BAD=90 Z MA=Z NAD又Z AM=Z AND=90 AB=ADAMB2A AND BM=DN又 AE=AG11-AE BM AG DN22/ S1 S29分当ZBAE=90 时 如图 10( a)v AE=AG Z BAE= Z DAG= 90 AB=AD 3 S2 当 90Z BAEc 180 时 如图 10(b)与一样；同理可证Si S2综上所述,在的条件下，总有5S2.11分