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1、矩阵论复习 一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和）,1,基础教学,1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性. 2. 若1, 2, , r线性无关，则向量组1= 1+k1r , 2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关. 3. 求向量组,分别生成的子空间的交的基和维数.,2,基础教学,4. 设 V1, V2 分别是,证明 Kn=V1V2 5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方 阵构成的子空间，证明： Knn=S A , Knn=T
2、 A .,3,基础教学,二. 线性变换 1.定义 T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( ) 2. 线性变换的值域与核 R(T)=L(T(1),T(2),T(n),N(T)=T()=,V 3.线性变换的矩阵 T (1,2,n)=(1,2,n)A rankT=rankA, nullT=n-rankA （1,2,n 为 线性空间V 的一个基） 4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.,4,基础教学,5. 化简线性变换的矩阵,(1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似 (3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使 得T在该基下的矩阵是Jordan矩
3、阵 (4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T 在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征 向量。 (5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式,5,基础教学,6. 不变子空间 定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果 对W, 有T()W,则W是T 的不变子空间.,6,基础教学,1. 求K22上的线性变换 T：T(X)=AX的值域R(T)与核 N(T)的基与维数, 其中 设T,S 是V 的线性变换，T2=T, S2=S , ST=TS, 证明 (S+T)2=S+TST=O. 3. 设T, S 是V 上线性变换，且T2=T, S2=S ，证明 (1) R(T)=R(S
4、)TS=S, ST=T (2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S 设Px2的线性变换T T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2 求Px2的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.,7,基础教学,5. 设V 是C 上的n维线性空间，T是V上的线性变换， 其中1,2,n是V 的一个基. 证明：V 的包含n的T 的不变子空间只有V.,8,基础教学,6. 设线性空间V3的线性变换T 在基1,2,3下的 矩阵,证明：W=L(2-1, 3-1)是T 的不变子空间.,9,基础教学,7. 求下列矩阵的Jordan标准形,8. 求下列矩阵的最小多项式,10,基
5、础教学,9.设A 是一个6阶方阵，其特征多项式为 ()=(+2)2(-1)4, 最小多项式为mA()=(+2)(-1)3, 求出A的若当标准形. 10.对于n 阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数 为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.,11,基础教学,欧式空间与酉空间 1. 定义 ,度量矩阵(,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x 和y分别是 和 在该基下的坐标) 2. 正交基与规范正交基(sthmidt 正交化) 3. 正交补 4. 对称变换与正交变换 (T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵. (T,T)=(,) T 在规范
6、正交基下的矩阵为正交矩阵. 5. n阶方阵酉相似于上三角矩阵 n 阶方阵A 酉相似对角矩阵A是正规矩阵.,12,基础教学,练习题 1. 在欧式空间R22中的内积为 取 （1）求W的一个基； （2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基. 2. 已知欧式空间Vn的基1,2,n的度量矩阵为A, 证明在Vn中存在基1,2,n，使满足,13,基础教学,设1,2;1, 2是欧式空间V2两个基, 又 1=1-22, 2=1-2, (1,1)=1, (1,2)=-1 ,(2,1)=2,(2,2)=0 分别求基1,2与1,2的度量矩阵. 4. 设实线性空间Vn的基1,2,n，设，Vn 在该基下的坐标分别为(1
7、,n)T,(1,n)T; 定义 (,)=11+nn 证明 ：（1）(,)是Vn的内积；,14,基础教学,（2）在该内积下，基1,2,n是Vn的标准正交基. 设ARmn，证明在列向量空间Rm中， R(A)=N(AT) 设T是n 维Eulid空间V 的线性变换， T(1,2,n)=(1,2,n)A 证明：T 为对称变换 ATG=GA，其中G为1,2,n 的度量矩阵. 7. 设n 维Eulid空间Vn的基1,2,n的度量矩阵为G , 正交变换T 在该基下的矩阵为A，证明 : (1)T1,T2,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.,15,基础教学,8. 设1,2,n是n维欧式空间V的标准正交 基，T是
8、V中的正交变换，由1,2,r(rn)生 成的r维子空间W=L(1,2,r)是T的不变子 空间，证明：W的正交补空间 W=L(r+1,r+2,n) 也是T 的不变子空间. 9. 设矩阵空间R22的子集V=X=(xij)x11+x22=0 (1) 验证V是R22的子空间，并求V的一个基。,16,基础教学,(2) 给定V中的变换T：TX=X+XT(XV),验证T 是线性变换。 (3) 求T的全体特征值与特征向量。 9. 给定线性空间V6的基x1,x2,x6及线性变换 T：Txi=xi+2x7-i （1）求T的全部特征值与特征向量； （2）判断是否存在另一个基，使T在该基下 的矩阵是对角矩阵？若存在，
9、把它构造出来。,17,基础教学,V 中的线性变换为T(X)=XP +XT, 任意XV， 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换； 3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.,10. 已知欧式空间R22 的子空间 中的内积为,18,基础教学,第2章 范数理论 向量范数 1.定义 2.结论：lp范数 3.等价性 二.矩阵范数 1. 定义 2.结论： 3.等价性,19,基础教学,习题： 证明：Cnn 中的矩阵范数 与 等价. 证明: Cnn 中的矩阵范数 与Cn中的向量 范数 相容。 3. 设A=(aij)mn,定义实数 证明： 是Cmn中的矩阵
10、范数，且与向量的2-范数相 容.,20,基础教学,4. 设可逆矩阵SRnn, 且 是Rn中的 向量范数. 若 表示Rnn中从属于向量范数 的矩阵范数，试导出 与矩阵2-范数之间 的关系. 5. 设Vn 是数域R上的线性空间，xVn在基 (I) x1,x2,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T. (1)证明： 是Vn中的向量范数。 (2)设xVn在基 (II) y1,y2,yn下的坐标为 =(b1,b2,bn)T,且由基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵为C，,21,基础教学,证明： C为正交矩阵. 6. 给定矩阵A,BCnn,且B可逆，定义 验证 是Cn中的向量范数。 7. 设 ，证明,2
11、2,基础教学,第3 章 矩阵分析及其应用 矩阵序列Ak 矩阵级数 收敛(A)r 矩阵函数 (定义，AB=BAeAeB=eA+B) 矩阵的微积分 ( ) 一阶线性常系数（非）齐次微分方程组 dx/dt=Ax, 通解：x(t)=etAc dx/dt=Ax+b 通解：x(t)=etAc+etA,23,基础教学,习题： 设n阶方阵A 不可逆，则cosA亦不可逆。( ) 设A是n阶Householder矩阵，则cos(2A)= 已知 ，判定 收敛的根据 是( ), 幂级数的和是( ). 4.已知 ,则矩阵幂级数 是 ( ),其理由是( ). 5. 设 ，则矩阵幂级数 是( ).,24,基础教学,6.已知
12、 ,则sin(At)=( ). 7. 设 (aR),则矩阵幂级数 收敛a( ). 8. 设 ， ,则,25,基础教学,（ ）. 9. 设A 是可逆矩阵，则 ( ). 10. 已知 (1) 求etA; (2)用矩阵函数的方法求微 分方程 满足初始条件 x(0)=(0,1,1)T的解.,26,基础教学,11. 设X=(xij)nnRnn, 则 ( ). 12. 已知 求 A. 13.已知 求 A.,27,基础教学,第4章 矩阵分解 三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky） 存在A的i 阶顺序主子式(0in)不为零。 二. QR分解 存在 三. 满秩分解 四.
13、奇异值分解,28,基础教学,习题： 设Hm是m阶Householder矩阵，In-m是n-m阶 单位矩阵(mn)，则 是n阶 Householder矩阵. 2.设Tm是m阶Givens矩阵, In-m是n-m阶单位矩 阵(mn)，则 是n阶Givens矩阵. 3.用Householder变换求,29,基础教学,的QR分解. 4. 用Givens变换求矩阵 QR分解。,30,基础教学,5. 设ARnn的特征值是1,2,n,且AT=A. 若B Rnn与A正交相抵，则B的奇异值是( ).,31,基础教学,第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性 Gerschgorin定理 二.实对称矩阵的Rayleig
14、h 商 三. A相对B的广义Rayleigh 商 四. 矩阵的直积 (AB ),32,基础教学,结论：1. R(x)的驻点的值是A的特征值(广义), 驻点是对应的特征向量。 2. 若12n，则 (A) (AB)(CD)=(AC)(BD) (AB)-1=A-1B-1,33,基础教学,6. f (A,B)= 的特征值为f (i,j). 其 中i，j 分别为矩阵A，B的特征值。 7.(AB)(BA) 8.若P-1AP=B,Q-1CQ=D,则 (PQ)-1(AC)(PQ)=BD 9. AXB=D (ABT)vecX=vecD,34,基础教学,习题： 用Gerschgorin定理分离矩阵 的特征值，并在
15、复平面上画图表示。 2. 用Gerschgorin定理证明对角占优矩阵可逆. 3. 用Gerschgorin定理证明,35,基础教学,能够相似于对角矩阵，且A的特征值都是实数.,36,基础教学,4. 用Gerschgorin定理分离矩阵 的特征值(要求画图表示),并根据实矩阵特征值 的性质改进所得结果。 5.用Gerschgorin定理说明 至少有两个实特征值.,37,基础教学,6.设A=diag(1,2,n),m阶矩阵B的特征值是 1,2,m,(m1),则AB的特征值是（ ）。 7. 已知矩阵Amn,Bnm及Cmm，则方程组 AXB=C有解的充分必要条件是（ ）。 8. 设A，B都是酉矩阵，
16、则(AHB)(ABH)=( ). 9.设ACnn,有n个线性无关的特征向量 1,2,n,则AA的n2个线性无关的特征向量 是（ ）。,38,基础教学,10. 设x是m维列向量，y是n维列向量， 则 ( ). 11. 已知 ，则AI+A2A的全体特征 值为( ). 12. 设xRn是单位列向量，ARnn是正交矩阵，则 13. 已知A与B的特征值分别为1,2,n与 1,1,n, 则矩阵方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零 解的充要条件是( ).,39,基础教学,第6章 广义逆 投影与正交投影 P是投影矩阵P2=P； P是正交投影矩阵P2=P，PH=P。 二. 广义逆的定义与性质 1. A+存在
17、且唯一； 2. rankA(1)rankA,rankAA(1)=rankA(1)A=rankA, rankA+=rankA 3. A(1)A=I A为列满秩矩阵； AA(1)=I A为行满秩矩阵。,40,基础教学,三. 应用 1. AXB=C有解 AA(1)CB(1)B=C 通解：X=A(1)CB(1)+(Y-A(1)AYBB(1) 2. Ax=b有解 AA+b=b 通解：x=A+b+(I-A+A)y; 极小范数：x=A+b 3. 矛盾方程Ax=b 的最小二乘解： x=A+b+(I-A+A)y 极小范数最小二乘解：x=A+b,41,基础教学,四. 算法 A=FG(满秩分解), A+=G+F+=GH(GGH)-1(FHF)-1FH,42,基础教学,习题： 已知ACmn及A+，设 ，则A+=( ). 已知 ，则A(1,2)=( ). 设x1,x2,xm(m1)是Rn中两两正交的单位向 量，记 A=(x1,x2,xm), 则A+=( ). 4. 设 ACnn的一个1-逆为A(1), 则A1=( ). 5. 设A是元素全为1的mn矩阵，则A+=( ). 6. 已知欧式空间R2，子空间L=L(), 其中=(1,-1)T, 则正交投影矩阵PL=( ).,43,基础教学,