《高等数学 高斯公式[中小学堂].ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 高斯公式[中小学堂].ppt（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高斯公式,物理意义-通量与散度,小结 思考题 作业,flux,divergence,第六节 高斯 (Gauss)公式 通量与散度,高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家,1,格林公式把平面上的闭曲线积分与,本节的高斯公式表达了空间闭曲面,上的曲面积分与曲面所围空间区域上的,它有明确的物理背景,三重积分的关系.,所围区域的二重积分联系起来.,通量与散度.,2,一、高 斯 公 式,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,高斯公式,外侧,3,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.,4,证,设空间区域,母线平行于
2、z轴的柱面.,即边界面,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),5,由三重积分的计算法,投影法(先一后二法),6,由曲面积分的计算法,取下侧,取上侧,取外侧,一投,二代,三定号,7,于是,8,同理,合并以上三式得,高斯公式,9,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,10,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,
3、一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,11,解,例,外侧.,12,使用Guass公式时易出的差错:,(1) 搞不清,是对什么变量求偏导;,(2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;,(3) 忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,13,有时可作,辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,14,例,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面 不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成封闭曲面,使用高
4、斯公式.,封闭曲面,15,先二后一法,16,故所求积分为,17,练习,利用高斯公式计算三重积分,提示,则,取,考虑到,选取相当自由，,18,由高斯公式,极坐标,19,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.,?,如直接计算,分析,用高斯公式.,例,是锥面,所围立体的表面,计算设f(u)是有连续的导数,计算,和球面,及,外侧.,20,解,由于,故由高斯公式,=,21,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角,绕y轴旋转,22,取右侧.,有,高斯公式,23,取右侧,故,24,1. 通量,为向量场,设有一向量场,则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积
5、分:,通量.,flux,divergence,穿过曲面这一侧的,二、物理意义 通量与散度,上式即为通量的计算公式,25,2.散度,设有向量场,为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成P点时,极限,记为,散度.,存在,则该极限值就称为向量场,在P点处的,即,26,散度的计算公式,设,均可导,点处的散度为,高斯公式,散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。,27,例,向量场,解,28,练习,设函数,解,先求梯度,29,再求,的散度.,设函数,30,高斯Gauss公式,物理意义-通量与散度,三、小结,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,(注意使用的条件),31,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,解答,曲面应是分片光滑的闭曲面.,32,作 业,习题11-6 (236页),1.(1) (3) (5),33,