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1、Nove. 30 Mon. 第四章 不定积分,不定积分的概念及性质； 不定积分的换元法； 不定积分的分部积分法； 有理函数不定积分.,1,教育教学,微积分产生的原因:,1. 求物体在任意时刻的速度和加速度；,2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；,3. 求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题；,4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。,2,教育教学,一元函数积分学基本问题,由此引出原函数与不定积分的概念；,2. 计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。,由此引出定积分的概念。,3,教育教学,定积分
2、,不定积分,Newton Leibnize 公式(17世纪),一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。,原函数的存在性又可以由定积分决定。,4,教育教学,1 不定积分的概念及其性质,原函数及不定积分 不定积分的几何意义； 基本积分表； 不定积分的性质。,5,教育教学,一. 原函数(primitive function)与不定积分,定义：,6,教育教学,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？,7,教育教学,定理：,证明：,再证它是全部原函数。,8,教育教学,9,教育教学,原函数存在定理：,连续函数一定有原函数.,10,教育教学,例1 求,解,解,
3、例2 求,11,教育教学,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,二. 不定积分的几何意义,12,教育教学,解：,13,教育教学,简单的初值问题(initial problem)：,14,教育教学,三. 基本积分表,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,15,教育教学,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,16,教育教学,基本积分表 ,是常数);,说明：,17,教育教学,18,教育教学,19,教育教学,例 求积分,解,根据积分公式（2）,20,
4、教育教学,积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。,由导数的运算法则，可得积分的运算法则.,21,教育教学,四. 不定积分的性质,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,证明：,由条件,22,教育教学,证明：,由条件,23,教育教学,Nove. 13 Wed. Review,1. 原函数与不定积分的概念：,3. 不定积分与微分的关系：,2. 几何意义：,24,教育教学,4. 基本积分表；,5. 不定积分的性质：,25,教育教学,解：,26,教育教学,解：,27,教育教学,解：,28,教育教学,解：,29,教育教学,解：,30,教育教学,解：,31,教育教学,解：,32,教育教学,解：,由题设,33,教育教学,解：,34,教育教学,解:,35,教育教学,小 结,3.基本积分表(1).,5.不定积分的性质.,1. 原函数的概念：,2.不定积分的概念：,4.求微分与求积分的互逆关系.,Hw：p258 1(双), 2。,36,教育教学,思考与练习,1. 证明,2. 若,提示:,提示:,37,教育教学,3. 若,是,的原函数 , 则,提示:,已知,38,教育教学,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,39,教育教学,5. 求下列积分:,提示:,40,教育教学,