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1、第二节 向量及其线性运算, 北京理工大学 2010-2011学年第二学期,1,教书育人,2,教书育人,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,零向量没有方向，或者说其方向是任意的,3,教书育人,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,4,教书育人,1 定义加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,5,教书育人,向量的加法符合下列运算
2、规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 定义减法,6,教书育人,三、向量与数的乘法,7,教书育人,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,8,教书育人,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,9,教书育人,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,10,教书育人,例1 化简,解,11,教书育人,例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,12,教书育人,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意
3、数乘后的方向）,四、小结,13,教书育人,14,教书育人,一、向量在轴上的投影与投影定理,15,教书育人,16,教书育人,证,于是,17,教书育人,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,18,教书育人,空间一点在轴上的投影,19,教书育人,空间一向量在轴上的投影,20,教书育人,关于向量的投影定理（1）,证,21,教书育人,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,22,教书育人,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,23,教书育
4、人,特别地，如果把上述向量a在轴上的投影换成向量a在向量b上的投影,可得到类似的概念与性质：,24,教书育人,二、向量在坐标轴上的分向量与向量,的坐标,25,教书育人,由例1知,26,教书育人,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,27,教书育人,按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,特殊地：,28,教书育人,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,29,教书育人,解,为直线上的点，,30,教书育人,由题意知：,#,31,教书育人,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,三、向量的模与方
5、向余弦的坐标表示式,32,教书育人,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,33,教书育人,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,34,教书育人,方向余弦的特征,特殊地：单位向量为,35,教书育人,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,36,教书育人,解,37,教书育人,38,教书育人,解,39,教书育人,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,四、小结,（注意分向量与向量的坐标的区别）,40,教书育人,作业,P3,3,4 P4,5 P10-11,2, 7, 10, 15,41,教书育人,思考题,42,教书育人,思考题解答,对角线的长为,43,教书育人,练 习 题,44,教书育人,45,教书育人,练习题答案,46,教书育人,思考题,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,47,教书育人,思考题解答,48,教书育人,练 习 题,49,教书育人,50,教书育人,练习题答案,51,教书育人,