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1、1,第一节 QR分解,QR分解也称为正交三角分解,矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。,主要内容： 1矩阵的QR分解- Schmidt正交化方法 2矩阵的QR分解- Householder变换、 Givens变换,2,QR分解定理,任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。,由于x 1,x 2, ,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交,证明,设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, ,x n,定义:设,如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵,R，使
2、得,则称之为A的QR分解或酉三角分解,当 时，则称为A的正三角分解,化方法得标准正交向量e 1,e 2, ,e n,3,其中,从而有,4,由此得,式中D=R1R-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于,即D为正交矩阵，因此D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）,故,5,说明：1若不要求R具有正对角元，则A的不同QR分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为1的因子。,该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵QR分解的方法。,例 求矩阵A的QR分解,解,2若A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q与复非奇异上三角矩阵R，使A = QR,6,将 正交化,7,整理得,令,则,8,例1：利
3、用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解,设,则,线性无关，首先将它们正交化得：,再单位化：,9,于是：,从而,10,Householder变换,则,记,即：该变换将向量 变成了以 为法向量的平面的对称向量 。,Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在 中，给定一个向量，令表示关于平面（以 为法向量）的反射变换所得像，如图所示，,11,定义 设 是一个单位向量，令,则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。,性质5.1.1 设H是一个Householder矩阵，则,（1）H是Hermite矩阵， ； （2）H是酉矩阵， ； （3）H是
4、对合矩阵， ； （4）H是自逆矩阵 （5）diag(I,H ) 也是一个Householder矩阵; （6）det H = -1。,12,其中 为实数。,定理 设 是一个单位向量，则对于任意的,当 时，取单位向量 使,存在Householder矩阵H，使得,证明 当x=0时，任取单位向量,则,则,13,所以,当 时，取,由于,14,推论1 对于任意的 ，存在Householder矩阵H，使,其中 为实数。,推论2 对于任意的 ，存在Householder矩阵H,上述结论表明，可以利用Householder变换将任意向量 化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）。,，其中,使得,得,15,例2
5、用Householder变换将向量 化为与 平行的向量。,因此,解 由于,为了使,为实数，取,令,则,也可取 或,说明,16,1 将矩阵A按列分块 ,取,利用Householder矩阵求矩阵的QR分解的步骤：,则,17,2 将矩阵 按列分块，,取,则,其中,18,则 A=QR,依次进行下去，得到第n-1个n阶的Household矩阵Hn-1，使得,3因 为自逆矩阵，令,19,例2：已知矩阵,利用Householder变换求A的QR分解,因为,记,令,则,从而,记,则,令,20,记,则,取,则,21,Givens变换,x 2,我们知道，平面坐标系 中的旋转角为 变换可表示为,T是正交矩阵，称为平
6、面旋转矩阵。 将其推广到一般的n维酉空间中， 可以得到初等旋转变换，也称为 Givens变换。,22,定义 设,记n阶矩阵,由 所确定的线性变换称为Givens变换或初等旋转变换。,称 为Givens矩阵或初等旋转矩阵；,容易验证，Givens矩阵是酉矩阵，且 。,23,定理 对于任意向量 ，存在Givens变换 ，使得 的第l个分量为0，第k个分量为非负实数，其余分量不变。,证明 记,由Givens矩阵的定义可得,24,当 时，取c=1,s=0，则Tkl = I,此时,当 时，取,结论成立。,则,25,与第一自然基向量,推论 给定一个向量 ，则存在一组Givens矩阵 ， 使得,称为用Giv
7、ens变换化向量,证明 设,由上述定理存在Givens矩阵,使得,共线。,26,依此继续下去，可以得出,对于 又存在Givens矩阵 ，使得,27,例3 用Givens变换化向量 与第一自然基向量共线,解 由于,取,则构造Givens矩阵,28,对于,由于,取,则,29,利用Givens矩阵求矩阵的QR分解的步骤：,先将矩阵A按列分块，,1 对于,存在一组Givens矩阵,于是,使得,30,又存在一组Givens矩阵,使得,2 将矩阵 按列分块,31,3令 。,依次进行下去，得到,因此,其中，,则A=QR,32,说明：利用Givens矩阵进行QR分解，需要作 个初等,旋转矩阵的连乘积，,当n较大时，计算量较大，因此,常用镜像变换来进行QR分解,