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1、1,大学物理学电子教案,刚 体 的 转 动,4-2 转动定律(下) 4-3 定轴转动的功能关系,2,（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。,（3）J 和质量分布有关；,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1） M 一定，J,复 习,3,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,4,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,四、平行轴定理,42 转动定律 (下),5,证明：,P对Z轴的转动惯量,6,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P
2、轴的转动惯量,7,对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z 轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对y 轴的转动惯量之和 。,五、垂直轴定理,8,例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。,已知圆盘,解：,9,六、刚体定轴转动定律的应用,题目类型 已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和 ，求M 3.已知M和 ，求J,解题步骤 1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。,注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已
3、知力矩或角加速度、角速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体转动定律 平动物体牛顿定律,10,例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为M。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1(T1= T1) ，,物体2这边的张力为,T2、 T2(T2= T2),11,因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，M的指向如图所示。可
4、列出下列方程,式中 是滑轮的角加速度，a 是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,12,而,13,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,14,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例2一
5、长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,15,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,16,由角加速度的定义,对上式积分，利用初始条件，,m,l,O,mg,解得：,有,17,例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每
6、个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。,18,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.,19,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,20,力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理,4.3 定轴转动中的功能关系,21,一、力矩的功,力矩对空间的累积效应,在转动平面内,刚体角位移为d,质点元位移为,元功：,r,r,d,22,定义：力矩的功,（1）若M为恒力矩,（2）合外力矩的功,对转动物体，力做的功力矩的功,说明,力矩的功率,23,二、刚体的转动动能,24,转动动能是转动时各个质元动能之和，而
7、不是一种新能量。,说明,ri,25,三、定轴转动动能定理,定轴转动刚体的动能定理： 合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体内力做功之和为零：,26,四、刚体的重力势能,hc 为刚体质心的高度,刚体的重力势能，等于把刚体的全部 质量集中于质心时质心的势能。,定轴转动刚体的机械能：,结论,27,五、一般体系,1. 动能定理,体系中包含做定轴转动的刚体和平动的物体,2. 功能原理,3. 机械能守恒定律,只有保守内力做功,28,例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略
8、不计。,解：对于圆盘，根据转动动能定律,对于物体，由质点动能定理，得,29,由牛顿第三定律,由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有,解上述方程，可得,30,解 先对细棒OA所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力 垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。,例题: 一根质量为m、长为 L的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。,31,在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg(L/2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力矩所作的元功是,在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是,应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度00，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按力矩的功和转动动能增量的关系式得,32,由此得,所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,33,小 结,刚体转动惯量的计算 刚体定轴转动的转动定律的应用 刚体定轴转动的功能关系,34,思考题：,预 习： 44, 45,习 题： P144 4.13 4.16,作业,