《广西桂林市逸仙中学高三数学《用向量法求空间距离》课件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西桂林市逸仙中学高三数学《用向量法求空间距离》课件.docx（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、用向量法求空间距离对于立体几何中 的距离 问 题,应用向量往往可以轻松地找到解决问题的突破口，简化求解过程，方 便易行.下面就通过例题来讨论用向量法解决立体 几何中求点到平面的距离、异面直线间的距离、直 线到平面的距离、平行平面间的距离等问题.、求点到平面的距离B如图所示，已知点B (xo, y, n), 平面Q内一点A (xi, yb Zi),平 面a的一个法向量n,由数量积的定义知：n AB =1 n II AB I cos &,其中& = (, AB、m 2I Z?_则丨ABIcos& =，所以IIABIcos6l就是B到平面a的距离d，I n IRn . n-AB即 =I n I【例1
2、】已知正方形ABCD的边长为4, CG丄平面ABCD, CG二2, E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离解析如图建立空间直角坐标系，贝!I B (0, 4,0) , E (2, 4, 0) , F (4, 2, 0),G (0, 0,2) , EF 二(2, -2, 0),GE = (2, 4, -2),亦二(2,0, 0)设平面EFG的一个法向量是n二(x, y, 1),则由nVEF.n丄G曲导(兀,y,l) - (2-2,0) = 0 y,l) (2,4-2) = 01x y = 0x + 2y = 1兀_亍1 1所以斤=(, )13 3y = _311则点阍平面如勺距离
3、必晋27nn二、求异面直线间的距离如图，若CD是异面直线a、b的公 垂线，A、B分别为a、b上的任意点， 令向量n丄a, n丄b,贝!|nCD.由乔=AC + CD + D5,得AB-n = AC-n + CD n + DBn0 ABn = CD n.: ABn 1=1 CD n.异面直线禺b间的距离Jd = CD 1=【例2】已知正方体ABCDAiBiDi的棱长为1,A】求异面直线DA与AC的距离. 解析如图建立空间直角坐标系， 则A (1, 0, 0) , C (0, 1, 0),Bi (1,1, 1) , A】(1, 0,1),AC = (-1,1,0),= (1,0,1),页=(1,0
4、,0).设向動=(x, y,l),且丄 DAX,n _L AC,x !y = -i(x,y,l)(1,0,1) = 0,=(x,y,l)(1,1,0) = 0 =二 =(191,1)所以异面直线DA】与AC的距离为n-DA I (W)-(-1-1,1) I V3 d =nI (-1-1,1)I 3三、求直线到平面的距离同样原理可以得到直线到平面的距离、 平行平面间的距离公式.在公式d二両 中，n为已知平面的法向量，A、E势别为直线和平面上的任意点（如图）.【例3】如图所示，已知边长为4血的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA丄平面ABC，且PA=2,设平面a过PF且与AE平行,
5、B求AE与平面a的距离.解析 设ARAEEC单位向量分别为、幺2、k选取弓灼e?作为空间向量的一组基底，可得e】 e2 = e2 e3 = e3 e】=0,且 AP=2eAE= 2y6e2.EC = 2yf2e3., i -,1 - s贝 IJAF = PA+ AF = PA+- AC = PA+ -(AE+ EC)2 2=2 弓 + a/69 + a/2设n = xei + ye2 + e3是平面Q的一个法向量，贝肮丄AE.n丄帀;所以n AE = 0 (xe + ye2 +e3)- 2y6e? = 0, 一n PF = 0(x 幺+ y 幺2 + “3) (2幺+ V6? + V2) =
6、02x | ei 12+/6y | e21 2+a/2 | e312=0x= 2 y=0.故 n=e】+e3.d =所以直线AE与平面a的距离为如图，在公式心斗犁中，I n In为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意点.【例4】已知正方体A BCDAxBtCtDx的棱长为1,求平fflABiC与平面AiC】D 间的距离.解析 建立如图所示的空间直角坐标 系,贝UA (1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0, 1, 0),D (0,0,0), Ax(1,0, 1), Bx(l, 1, 1),zyBCx(0, 1, 1), Dx(0, 0, 1).设平ffiAxC.D的一个法向量为=0斤=(兀”1)，则,nDC =0x+l=0y+l=0(x, y, 1) (1, 0, 1) =0(x, y, 1) (0, 1, 1) =0X=-1,y=-i故n=(1, 1,1),所以平ffiABiC与平面AiCiD间的距离为d =n-AD_(100)(-1-1J) I _ V3mi 7(-i)2+(-i)2+i23点评用平面法向量的方法求空间距离时，避免了 繁琐的推理论证，只要进行向量运算即可，能收到 化隐为显、化难为易的功效.