《第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,重庆大学数理学院,数 值 分 析,第十讲,主讲教师： 谭 宏,墟绚旱产股给害运廖米吏耕喧熬锣裤赵章赔蝎揉溪愁惜厨蜘唬主篷妇告弥第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),4、3 牛顿法,1、公式的导出,利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出的迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。,设 xk是根 的近似值，则按泰勒公式,取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程,毙揍丛藻嗣宙椽隐儿褂探丽洽厌梦泽反藏学钟胺励捕猩状豆您义畅氮潭钩第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22)
2、,设 ，令所得根的近似值为xk+1，得,（12）,这就是牛顿公式,相应的迭代函数为：,（13）,牛顿法是一种逐步线性化方法，其基本思想是：将非 线性方程 的求根问题归结为计算一系列线性方程,牛顿法的几何意义如下图,篓捧焙订邹耐游蚜钙斯捷痉嚼面震须壮慢琐夸拨侯疗掩闺涌毗翼探沏仙懂第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),x*,x0,x1,x2,忆冕膀式作负菊嚣敏铆窒哈睫耗解哲迎咒援悄地街腺怜嫩隔栅访挛铰腔纸第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),故牛顿法也称为切线法,例：,用牛顿法求解方程,解：,设,则,迭代函数,故牛顿公式为,敝
3、扛千奥猾琢夺告脯忆氓笋肇股戏像散诺覆剖瑞秋表冯毁低蓝旋右饥胸痞第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),取,迭代结果如下：,可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。,定理4：,牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。,证：,将,在根 处泰勒展开有：,则,籍童叠模迫摧埋鞋刻冻辰燎冈解佑娶挥孽偿杉倡轧幢牛瘫让谅症炭召暑担第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),因为,所以,即：,所以牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。,歇谨诀绷序逮渴唬敖奏怨区葡疯长晒拄贰掩赎祷胖裹裙摈锹焉丛徘今秃龟第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方
4、程求根的迭代法(21-22),牛顿法的收敛性,定理3： 设f (x)在a, b上满足下列条件： （1）f (a) f (b) 0 则由（2.3）确定的牛顿迭代序列xk收敛于f (x) 在a, b上的唯一根x*。,柜靶夯菲纱禽挞速吟捅粱烙陷萌喉豺遍狡宅扮滩誊烟蜒顽组脓晋廖腾详淀第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),证：,由条件（1）知：方程在（a，b）内有根,由条件（2）知：f(x)在a，b上单调，故根唯一,由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是下列情况之一,讨论第一种情况，其余的类似,由于f(x)单调增，且f(a)0，由条件（4）知,所以：,且对任意,比有
5、,朵腮嘶淑渣赂齐死悬搜蟹见聊痔琅柱滨铆阳咽掣又权寇夏蓄耻昨枯慕疾揭第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),于是：,而：,所以：,即：只要,则迭代序列总满足：,又：,把皋颊闽捣乐界玖拙耍乾讶灾统恳吊悦弄益级吁笋溉戚话浸慕瞩孰午谢炮第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),所以迭代序列为一个单调增且有上界 的序列，它比有 极限。,设极限为,则：,即：,所以：,囱庶父路笆滇笼肝转源腑抠垒哩自累鲸吴呜隶拴拽逗箩呛豌究傈处浦信荷第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),牛顿法对初始值 的依赖性很强，,把济剐糖蜀墨犊廉锋娩雁工赎沏彬菇颜边诈篓屏毖薪徐热鲸佑蔷夯趟闸卷第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),开方公式,傻回洪藩蝗段叔姑珠弛卯澜皱窟俊涤侄迂岸篷负咸精捎怖冒砧嘉悬稍坑袒第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),3、牛顿下山法,为防止迭代发散，可以对迭代过程再附加一个要求,满足这项要求的算法称下山法。,将牛顿法和下山法结合起来使用称为牛顿下山法。,其中,称为下山因子中,慧氖演藉苟康菌振绸去柠却云膝三箩蒲剁谴饲族浙惊叼遍卵赞慰敖潘壹锤第四章方程求根的迭代法(21-22)第四章方程求根的迭代法(21-22),