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1、实用文档等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：anqq0n2,且 n N * ， q 称为公比an12、通项公式：an a1qn1a1 qnA Bna1q0, AB0 ，首项： a1 ；公比： qq推广： anamqn mqn manqnmanamam3、等比中项：（1）如果 a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A2ab 或 Aab注意：同号的 两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 an 是等比数列an2an1an 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：（1）当 q1 时， Snna1（2）当 qa11qnaa q1 时， S
2、n1n1q1qa1a1qnAA BnA ' BnA '（ A,B, A',B ' 为常数）1 q 1q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n ，都有 an1qan 或 an 1q(q为常数， an0) an 为等比数列an（2）等比中项： an2an 1an 1 (an 1an10) an 为等比数列（3）通项公式： anA BnA B0 an 为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若 anq q0n2, 且 nN *或 an 1qan an 为等比数列an17、等比数列的性质：（2）对任何 m, nN * ，在等比数列 an 中，有 anam
3、qn m 。（3）若 mn st m( n, s, t, N*，则 anamas at。特别的，当 mn2)2k 时，得 an am ak注： a1 ana2 an 1a3 an 2等差和等比数列比较：等差数列等比数列文案大全实用文档定义an 1anda n 1q( q0)an递推公a nan 1d ； a nam nmda nan 1 q ； a nam qn m式通项公ana1(n 1)dana1q n 1 （ a1 , q0 ）式中项an ka n k（ n, kN*, n k 0 ） Ga n k a n k (a n k a n k0) （ n, k*, n k 0）A2NSnn (
4、aa)na(q 1)21n1前 n 项和S na1 1 qna1a n qn(n1)(q2)Snna1d1 q1q2重要amana paqam ana p a q性质(m, n, p, qN * , mnp q)( m, n, p, q N *, mnpq)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 an 中， a1 a964 ,a3a720 ,求 a11 .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a1 和 q 的二元方程组，解出 a1 和q ，可得 a11 ；或注意到下标 1937 ，可以利用性质可求出a3 、 a7 ，再求 a11 .解析：a1a9a1 a1q86
5、4(1)法一： 设此数列公比为 q ，则a1q2a1q6a3a720(2)由(2)得： a1q2 (1q4 )20.(3) a1 0 .由(1)得： ( a1 q4 )264 , a1q48.(4)(3) ÷(4)得： 1q4205 ，q282 2q45q22 0 ,解得 q22 或 q212当 q22 时， a12 ， a11a1 q1064 ；当 q21 时， a132 ， a11a1 q101 .2法二： a1 a9a3 a764 ,又 a3a7 20 ,文案大全 a3 、 a7 为方程 x2a316a34或a7a7 a3 a11a7 2 , a11总结升华：实用文档20 x6
6、40 的两实数根，416a7 21 或 a1164 .a3列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】a n为等比数列， 1 ， 9，求 6。a =3a =768a【答案】 ±96法一： 设公比为 q，则 768=a1 8，q8，±，6±；q=256q= 2a = 96法二： a2±± ，± 。5=a1a9a5= 48 q= 2a6= 96【变式 2】a n为等比数列， n0，且 a189，求
7、4445 46 的值。aa =16aaa【答案】 64； a a89a216n0， a45=4145，又 a a44a45 a46a45364 。【变式 3】已知等比数列 an ，若 a1a2a37 ， a1a2a38 ，求 an 。【答案】 an2n1 或 an 23n ；法一： a1a3a22 ， a1a2 a3 a238， a22从而a1a351， a34 或 a14 ， a31a1a34, 解之得 a1当 a11时， q2 ；当 a14 时， q1 。2故 an2n 1 或 an23 n 。法二：由等比数列的定义知 a2 a1q ， a3a1q2代入已知得2a1a1qa1q7a1(1q
8、 q2 ) 7,a1 (1q q2 )7, (1)a13q38a1q2(2)文案大全实用文档将 a12 代入（ 1）得 2q25q 2 0 ，q解得 q2 或 q12由（ 2）得 a1a141或1，以下同方法一。q2q2类型二：等比数列的前n 项和公式例 2设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析： 若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1 .因 a10，得 S36 2S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.+S由S3 S62S9 得， a1 (1 q3 )a1(1 q6 )2a1(1 q9 ) ，1 q1 q1 q整理得
9、q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0，331，所以 q34。因 q1，故q22举一反三：【变式 1】求等比数列 1,1 , 1 ,的前 6 项和。39【答案】 364 ；243 a11， q1 ， n63161136 S6311364 。11232433【变式 2】已知： a n为等比数列，1 2 335a a a =27，S =13，求 S .【答案】121或 121 ；9 a2327a23，13a1(1 q3 )q 3或 q1 ，则 a1=1 或 a1=91q313591 15121 S5121或 S5313 1.913文案
10、大全实用文档【变式 3】在等比数列 an 中， a1an66 ， a2 an 1128 ， Sn 126 ，求 n 和 q 。【答案】 q1 或 2， n 6 ；2 a2an 1a1an ， a1an128解方程组a1 an128，得a164a12a1an66an2或an64将a164a1an q，得 q1，an代入 Sn1q22由 ana1qn1 ，解得 n6 ；将a12a1an q，得 q2 ，an代入 Sn1q64由 ana1qn1 ，解得 n6 。 q1 或 2， n6 。2类型三：等比数列的性质例 3.等比数列 an 中，若 a5a69 ,求 log 3 a1log 3 a2. lo
11、g 3 a10 .解析： an 是等比数列， a1 a10a2a9 a3a8a4a7a5 a69 log3alog3a2log3alog 3 (a1a2a3a10 )log 3(a5 a6 )5log3 9510110举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中，若 a1·a100=100; 则 lga1+lga2+lga100=_.【答案】 100； lga1+lga2 +lga3+lga100=lg(a1·a2·a3· ·a100)而 a1·a100=a2·a99=a3·a98=a50·a51原式 =
12、lg(a1 ·a100)50=50lg(a1·a100)=50 ×lg100=100。【变式2】在 8 和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为32_。【答案】 216；法一： 设这个等比数列为 an ，其公比为 q ， a18 ， a527a1q48 q4 ， q481 ， q29323164文案大全实用文档33 a2 a3 a4 a1q a1q2a1q3a13 q68963216。34法二： 设这个等比数列为 an ，公比为 q ，则 a8 ， a27 ，1352加入的三项分别为 a2 ， a3 ， a4 ，由题意 a1 ， a3
13、 ， a5 也成等比数列， a3282736 ，故 a36 ，32 a2 a3 a4 a32 a3a33216 。类型四：等比数列前n 项和公式的性质例 4在等比数列 an 中，已知 Sn48 ， S2 n60 ，求 S3n 。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和， ，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+an,b2 =an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3
14、 =a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知 b12 3成等比数列，b3b221223，,b ,bb148S3n32n=b +S=3+60=63.法二： S2n2Sn ， q1 ，a1 (1qn )48由已知得1qa1 (1q2n )601 q÷得 1 qn5，即 qn144代入得a164 ，q1 S3na1 (1q3n )64(113 )63 。1q4法三： an 为等比数列， Sn ， S2 nSn ， S3nS2n 也成等比数列， ( S2 nSn )2Sn ( S3 n S2 n ) ，文案大全实用文档 S3n( S2 n Sn )2(6048)2SnS
15、2n60 63。48举一反三：【变式 1】等比数列 an 中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_.【答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4 +a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4 )=1 ×(1+24)=17 【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？【答案】 130；法一： S10， S20-S10，S30-S20 构成等比数列， (S20-S10)2=S10·(S30-S20)即 302=10(S30-40),S3
16、0=130.法二： 2S10S20， q1 , Sa1 (1q10 )10 , S20a1(1 q20 ),40101q1q 1 q101 , q103 , a151q2041qa1 (1 q30 )(5)(13130 . S301q3 )【变式 3】等比数列an 的项都是正数，若n2n，前n项中最大的一项为，求S =80, S =656054n.【答案】 Sn80， q 1(否则 Sn1)S2n 6560S2 n2 Sna1 (1qn ) =80.(1)1qS2na1(1q2n ) =6560.(2)，1q(2) ÷(1)得： 1+qn =82,qn=81.(3)该数列各项为正数，
17、由(3)知 q>1 a n 为递增数列， an 为最大项 54. an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4) a154q2q 代入 (1)得 2q(1 81)80(1 q) ，8133 q=3, n=4.【变式 4】等比数列 an 中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_.文案大全实用文档【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知： b123成等比数列， b3=b2236 2即 5 6, b , b=324=4, a +a =4.b1【变式 5】
18、等比数列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。【答案】 448； a n 是等比数列， (a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3, q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列 .若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列 .求原来的三个数 .思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式 .解析：法一： 设成等差数列的三数为a-d, a
19、,a+d.则 a-d, a, a+d+32成等比数列， a-d, a-4, a+d成等比数列 .a 2(a d )(ad32). .(1)4)2(ad )(ad ). .(2)(a由(2)得 a= d 216.(3)8由(1)得 32a=d2+32d .(4)(3)代(4)消 a，解得 d8 或 d=8.3当 d8 时, a 26 ；当 d=8 时 ,a=1039原来三个数为 2, 26 , 338 或 2,10,50.99922成等差数列，2成等比数列法二： 设原来三个数为 a, aq, aq，则 a, aq,aqa, aq-4, aq-32-32 2aq a aq 2 32.(1)(aq
20、4)2a(aq 232).( 2)由(2)得 a2，代入 (1)解得 q=5或 q=13q4当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 a2 .9文案大全实用文档原来三个数为2，10， 50 或 2 ， 26 , 338 .999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列， 可设此三数为 a-d,a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为x ，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用y首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得
21、的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.210 50【答案】 为 2，6，18 或,；设所求的等比数列为a， aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或 a2 ，q=-5；9故所求的等比数列为2，6，18 或 2 ,10,50 .999【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案】 1、3、9 或1、3、9或 9、3、1 或 9、3、 1设这三个数分别为 a , a, aq ，qaa aq27a3q由已知得a2 (12q21) 91a2a22q291q2aq得 9q482q29 0
22、，所以 q29 或 q21 ，9即 q3 或 q13故所求三个数为： 1、3、9 或1、 3、 9或 9、3、1 或 9、3、1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 .【答案】 0，4，8，16 或 15， 9， 3， 1；设四个数分别是x,y,12-y,16-x文案大全实用文档2 yx 12y.(1)y) 2y(16x).(2)(12由(1)得 x=3y-12，代入 (2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0
23、, y2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 满足： log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列 a n 的通项公式，并判断a n 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n的前n项和n 可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.S解析： log5 n nn nn+),(S +1)=n,S +1=5 ,S =5 -1 (n Na1 1 1=S =5 -1=4,当 n2时， an n n-1nn-1n n-1n-1n-1=(5 -1)-(5 -1)=5
24、 -5×=S -S=5 (5-1)=4 5而 n=1 时， 4×5n-1=4×51-1=4=a1, n N+时， an=4×5n-1由上述通项公式，可知 a n 为首项为 4，公比为 5 的等比数列 .举一反三：【变式 1】已知数列 C n ，其中n n n，且数列 C n+1n 为等比数列，求常数。C=2+3-pC p【答案】 p=2 或 p=3； C n+1-pCn 是等比数列，对任意 nN 且 n2，有 (Cn+1n2=(Cn+2n+1nn-1)-pC)-pC )(C-pCCnn n (2n+1n+1nn 2n+2 n+2)-p(2n+1n+1&#
25、183; n nn-1n-1=2+3,+3)-p(2 +3 ) =(2+3+3) (2 +3 )-p(2+3)nn2n+1n+1n-1n-1即(2-p) 2··=(2-p) 2·····+(3-p) 3 +(3-p) 3 (2-p) 2+(3-p) 3整理得： 1 (2p)(3p)2n 3 n0 ,解得： p=2 或 p=3,6显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求 .【变式 2】设a n 、n是公比不相等的两个等比数列，nnn 证明数列n不是等比数列. bC =a +b ,C 【证明】 设数列 an、bn 的公比分别为，且 q