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1、举例子能证明几何定理吗【编者的话】书读得多而不去思考，你会觉得你知道的很多，书读得多又思考，你会觉得你不知道的很多 .伏尔泰各位亲爱的同学，假期里你总可以挤出一些属于自己的 阅读时间，你是否相信自己可以从课外阅读中获取自己想要 的知识与灵感呢？课外阅读的范围相当广，我们可以依据自 己的兴趣进行选择性地阅读，身心必将受到一次大的洗礼， 在增长见识的同时又娱乐身心，何乐而不为？本期的两篇文章都是节选，请你读一读，要是在读过后 能写些读后感就更好了！归纳和演绎，是人类认识世界活动中广泛应用的两套思 维方法 .它反映了人们认识事物的两条思维途径，前者是从个别 到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维
2、运动 .哲学认为：归纳和演绎非常重要，但各自也都存在一定 的局限性，需要相互补充、相互转化 .在数学家的眼中，归纳和演绎用处也各有不同 .拉普拉斯说：在数学这门科学里，我们发现真理的主要 工具是归纳和类比 .高斯说：数学中的一些美丽定理具有这样的特性，它们 极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深 .陈省身说：数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过 逻辑的推理，获得结论 .归纳用于发现，演绎用于推理 .这是相当普遍的看法 . 例证法用演绎支持归纳 那么，在数学中举例真的不能证明一般的命题吗？ 中学里学了恒等式 .下面的等式（X -1） 2= x 2-2 x +1（）就是一个恒等式 .用X =l
3、代人，两边都得 o； X =2，两边都得1; X =3, 两边都得 4.这样举了三个例子之后，能不能肯定（探）是恒等式呢？ 恒等式，恒等式，要求X取所有数值时两边都相等.才验 证了三个X的值，怎么能断定它一定恒等呢？其实，这三个实例已经证明了（探）是恒等式道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，这种方程不 可能有三个根 .现在 1， 2， 3都是“根”，说明它不是方程而 是恒等式，在这个具体问题上， 演绎推理支持了归纳推理 .我们用数学上承认的演绎法证明了归纳法的有效性，般说来，代数恒等式的检验都可以用举例子的方法不过，高次的和多元的等式，要用更多的例子罢了 .这些事实表明：在数学王
4、国的某些角落里，归纳法可以 有效地证明一般性的命题，甚至可以用一个特例证明一般的 命题 .归纳法的这种力量，是由演绎推理证明的.数学的新成果表明： 归纳与演绎是对立的统一 .认为归纳 推理毫无根据是不充分的，因为在初等几何范围内已证明了 归纳的有效性；认为演绎推理不能使我们增加新知识也是不 确切的，因为演绎推理揭示出事物的内在联系，使我们看到 现象背后的本质，增加了我们的新知识 .归纳与演绎，是人类认识世界的两个基本方法，它们相 互支持，相互补充，使我们越来越接近真理 .但是，代数恒等式在数学史上，远不如初等几何证明题 那样受人青睐， 那样丰富多彩， 那样魅力无穷 .正是在初等几 何领域，演绎
5、推理树立起了自己的威望，成为人所共知的绝 对统治者 .归纳法的效力， 能不能在这里发挥作用呢？传统的 看法是否定的 .但是， 20 世纪 80 年代以来，中国数学家的工 作在这里揭开了新的一页 .几何定理也能用例子证明 用举例的方法证明几何定理的研究，属于几何定理机器 证明这个在近几十年开始活跃起来的数学领域 .用机器证明数学定理，是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦寐以求的事 .数学问题大体上有两类， 一类是求解， 一类是求证 .我们 熟悉的求解问题很多：解方程，解应用题，几何作图，求最 大公因数与最小公倍数，我们熟悉的求证问题，大多是初等 几何证明题，还有证明恒等式，证明不等式 .中国古代数
6、学研究的中心问题是求解，把问题分为若干 类，分别给出解题的方法 .这方法是一系列确定的步骤， 谁都 可以学会 .会一个方法，便能解一类问题 .九章算术就是 这么做的 .用一个固定的程序解决一类问题，这就是数学机械化的 基本思想 .追求数学的机械化方法， 是中国古代数学的优秀传 统之一 .在西方，以希腊几何学研究为代表的古代数学，所研究 的中心问题不是求解而是求证，是从公理出发用演绎推理方 式证明一个一个的定理 .而证明定理的方法，则是一题一证， 各具巧思， 无一确定的法则可循 .证明的成功有赖于技巧与灵 感.能不能找到一种方法，像解方程那样，按固定法则证明 一批一批的几何定理呢？17 世纪法国
7、的唯理论哲学家， 发明了解析几何的数学家 笛卡儿，曾有过一个大胆的设想： “一切问题化为数学问题 .一切数学问题化为代数问题 .一切代数问题化为代数方程求 解问题.于是，笛卡儿用坐标方法解析几何的方法，把初等几何问题化成了代数问题 .比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家、与牛顿同时创 立微积分的数学家莱布尼茨，曾有过“推理机器”的设想， 希望用一台机器代替人的推理活动，他曾设计过计算机，他 的努力促进了数理逻辑的研究 .20 世纪的数学大师希尔伯特，在他的名著几何基础 一书中，也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法 .第二次世界大战以后，电子计算机的出现大大促进了定 理机器证明的研究 .经过许多
8、出色数学家的辛勤耕耘， 这个领 域有了蓬勃发展，但是都不能在计算机上真的用来证明非平 凡的几何定理 .一直到杰出的中国数学家吴文俊院士在1977年发表他的初等几何机器证明新方法之后，在电子计算机上 证明初等几何定理才成为现实 .吴氏方法的基本思想是：先把几何问题化为代数问题， 再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，代数恒等式的检 验是机械的，问题的转化过程也是机械的，整个问题也就机 械化了.既然几何证明问题可以化为代数恒等式的检验问题，而 在前面义刚刚提到过可以用举例的方法检验代数恒等式，那 是不是意味着有可能用举例的方法来证明几何定理呢？吴氏方法鼓舞了这个方向的研究 .在吴氏方法的基础上，
9、洪加威于 1986 年发表了一项引起广泛兴趣的研究成果：对 于相当广泛的一类几何命题，只要检验一个实例便能确定这 条命题是不是成立 .特例的检验，能代替演绎推理的证明！ 但是，洪加威要的那一个例子，不是随手拈来的例子， 它要满足一定的条件，才具有一般的代表性，对于非平凡的 几何命题， 这例子往往涉及大得惊人的数值计算 .为了使洪氏 方法在计算机上实现，尚待进一步的努力 .在吴氏方法的基础上，张景中、杨路提出了另一种举例 证明几何定理的方法 .按照这种方法， 为了判定一个 （等式型） 初等几何命题的真假， 只须检验若干普通的实例 .例子的数目 与分布方式可以根据命题的复杂程度用机械的方法确定 .顺便提一句，举一些例子证明几何定理，举的例子不仅 要够一定的数目，而且要有一定的分布方式，这正是归纳法 的倡导者培根所要求的：要广泛搜集材料，搜集不同类型的 材料.它的有效范围是它从中引申、归纳m 的那些事例的范围，张杨法所要求的这一组例子的分布形式，足以保证概括 了命题的论域，代表了广泛的一般情形 .节选自张景中、 彭翕成所著的数学哲学