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1、利用反证法解几何问题作者：宋海峰 单位：新乡市第十一中学 专业：数学 时间： 2008、 6利用反证法解几何问题新乡市第十一中学 宋海峰摘要 ： 阐明反证法的定义、种类以及证明的一般步骤，探索了反证法在中学数学 几何问题中的应用。关键词： 反证法、证明、矛盾、补集反证法是数学中常用的一种方法， 我们对一些数学命题的证明， 如果从正面入手实 行解答比较困难或较为繁杂时， 可从反面或侧面实行考虑，通过先解决其反面问题，利 用补集思想，进而使问题得到解决，这样解决问题的方法，就是正反则反的思想方法 反证法就是正反则反的思想方法的重要体现。反证法 特别适用于否定性、存有性、唯一 性问题。应该说“反证法
2、是一个积极的、主动的证明大法” 。反证法也称为归谬法。英 国数学家哈代（ G.H.Hardy,1877-1947 ）对于这样证法给过一个很有意思的评论。在棋 类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势” ，即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指 出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略。棋手能够牺牲的是几个棋子，而数学 家能够牺牲的整个一盘棋。归谬法就是作为一种能够想象的最了不起的策略而产生的。用反证法证明一个命题常采用以下步骤：（1） 假定命题的结论不成立，（ 2） 实行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛 盾，（3） 因为上述矛盾的出现，能够断言，原来的假定“结论不成立
3、”是错误的，（4） 肯定原来命题的结论是准确的。 反证法在数学解题当中是一种非常重要的数学方法，它在几何题目的应用极为广 泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，在这里选择几个有代表性的题目，加3以介绍说明:、证明几何量之间的关系例1已知：四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点,1EF (AB CD)。2求证：AB/CD。证明：假设AB不平行于CD。如图，连结 E、F、G分别是 AD、BC、AC的中点，1 GE/CD , GE CD ； GF /AB ,2AC ,取AC的中点G,连结 EG、FG。G1AB。2 AB不平行于CD , GE和GF不共线， GE GF EF1GE、GF
4、、EF组成一个三角形。但 GE GF (AB CD)二 EF2与矛盾。 AB/CD例2 :直线PO与平面：相交于O POA = POB = POC。求证：PO _。证明：假设PO不垂直平面。作PH _ :-并与平面:-相交于H，此时I 由 P作 PE _ OA于 E, PF _ OB 于 F, 根据三垂线定理可知， HE _ OA , HF . POA 二.POB , PO 是公共边， Rt POE 二 Rt POF OE =OF又 OH -OH Rt OFH 三 Rt OEH FOH 所以，OH 同理可证， 但是，OB二/EOH是.AOB的平分线。0H是.AOC的平分线。和OC是两条不重合的
5、直线,，过点0在平面：内引直线OA、OB、OC，H、0不重合，连结0H。盾。PO _ ：。例3:已知A、B、C、D是空间的四个点， AB、CD是异面直线。求证：AC和BD是异面直线。证明：假设 AC和BD不是异面直线，那么 AC和BD在同一平面内。所以，A、C、B、D四点在同一平面内， 这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即 AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。所以，AC和BD是异面直线上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。二、证明“唯一性”问题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯
6、一性”问题。例3：过平面:-上的点A的直线a二，求证：a是唯一的。 证明：假设a不是唯一的，则过 A至少还有一条直线 b，b _: a、b是相交直线， a、b能够确定一个平面 1。设：和：相交于过点A的直线C。 a _, b _, a _ c , b _ c。这样在平面：内，过点A就有两条直线垂直于 C，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的。例4：试证明：在平面上所有通过点（.2,0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。证明：先证存有性。因为直线y = 0，显然通过点（ 2,0），且直线y = 0至少通过两个有理点，例如它通过（0,0）和（1,
7、0）。这说明满足条件的直线有一条。再证唯一性。假设除了直线 y二0外还存有一条直线 y二kx b （ k = 0或b = 0）通过点（ 2,0）,且该直线通过有理点人（&,%）与B（X2,y2），其中、X2、y2均为有理数。因为直线y =kx b通过点（.2,0）,所以 - 2k，于是y二k（x -2），且k = 0。又直线通过 A （xi, yi）与 B（X2, y2）两点，所以力二k（xi - . 2）,y = k（x - ：-；'2）一，得 y1 - y2 = k(x x2)。因为A、B是两个不同的点，且 k = 0，所以Xi = x2, y- y2,由，得k 匸上，且k
8、是不等于零的有理数。X X?由，得. 2 = x1 - “。k此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点 （.2,0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当 困难，所以一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更 方便。三、证明不可能问题几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存有。它 们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个 图
9、形具有某种性质或具有某种性质的图形存有，所以，这类问题非常适宜用反证法。例5:求证：抛物线没有渐近线。证明：设抛物线的方程是 y2 =2px（p=0）。假设抛物线有渐近线，渐近线的方程是y =ax b，易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组:y2 =2px（1）y =ax +b（2）的两组解的倒数都是 0。将（2）代入（1），得2 2 2a x 2（ab - p）x b =0（3）设X、X2是（3）的两个根，由韦达定理，可知2(ab-p)b2XX2=2，X1X2_ 2aa则丄1XX2'2(ab -一 24,XX2X1X2b2%x2% x2b2(5)由(4)、(
10、 5),可推得p = 0 ,这于假设p=0矛盾。所以，抛物线没有渐近线。关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。因为它的结论是以否定形式出现, 采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。四、证明“至少存有”或“不多于”问题在几何中存有一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。因 为这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否 定结论这个新的假设，就能够推出更多的结论，容易使命题获证。例6:已知：四边形 ABCD中，对角线 AC=BD=1 。求证：四边形中至少有一条边不小于。2证明：假设四边形的边都小于
11、，因为四边形中至少有一个角不是钝角(这个结论也可用反2证法证明)，不妨设.A90°，根据余弦定理，得 BD2 =AD2 AB2 -2AD AB cos A，2 2 2 BD -AD AB ,即 BD 乞 AD2 AB2 ： -. ( 2)2( 2)2 =1。 2 2这与已知四边形 BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于。2总来说之，反证法是证明数学命题的一种重要方法，是数学家的一个精良武器.一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更详细、更明确时，宜考虑用反证法去证。其次，否定型命题(命题的结论是 不可能”，不能表示为 ”，不是”，不存有” 不等于”，不具有某种性质”
12、等)，唯一性命题，存有性命题， 至少”、至多”型命题，某些命 题的逆命题等都可用反证法去证。此外，有的肯定式命题，因为已知，或结论涉及到无限个元素， (4)9如“无限多个数” ，“无穷多交点” ，“无限不循环小数”等，因为我们要直接证明无限的情形比较困 难，因而也往往采用反证法。反证法是一种重要的数学证明方法，这是因为有些数学命题采取反证法比较简捷，还有的数学 命题至今除了用反证法外还没有找到别的证法。参考资料1 、杨羽：立体几何与向量 （第三版），华东师范大学出版社。2、朱德祥：立体几何，人民教育出版社。3 、高中一年级数学教学与测试（学生用书） ，苏州大学出版社。4、罗增儒：高中数学竞赛辅导 ，陕西师范大学出版社。#