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1、边坡稳定分析极限平衡方法的讨论邵龙潭(大连理工大学工程力学系, 辽宁 大连 116024)摘 要：证明了在平面应变条件下，阻滑力和滑动力代数和相等是土体沿滑面整体达到极限平衡的充分必要条件；用阻滑力代数和与滑动力代数和之比定义的安全系数是在整体平均（中值）意义上土体沿滑面达到极限平衡的充分必要条件，其物理意义是土体整体达到极限平衡的平均强度折减系数或称为强度储备系数。因此，在计算安全系数时，不再要求假定滑面为圆弧；传统的条分法也适用于任意形状滑动曲面；基于有限元应力分析的极限平衡法与传统条分法和强度折减法在本质上是一致的，算例表明三者的安全系数结果和最危险滑面位置很接近。关 键 词： 边坡稳定
2、；安全系数；有限元；极限平衡法；强度折减中图分类号： 文献标识码：ADiscussion on Limit Equilibrium Method for Slope Stability AnalysisSHAO Long-tan(Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Liaoning, Dalian, 116024)Abstract It is proved that the essential and full condition for the soil mass to be in lim
3、it equilibrium state along a sliding surface is that the sum of slide force equals to that of resistant sliding force. It shows that the safety factor is the middle value of the strength reduction that makes soil mass be in limit equilibrium state along the surface. The safety factor is defined as t
4、he ratio of the sum of resistant slide force to the sum of slide force along the surface. It is also the essential and full condition for the soil mass to be in limit equilibrium state along the surface. Therefore, it is not necessary to assume that the slide surface is a circle when calculating saf
5、ety factor. The limit equilibrium method for the slope stability assessment can be used to the problems with any shapes of slide surface. It also shows that the nature of the safety factor is agreeable to the factor of the reduction of shear strength. Numerical examples are given to show that the re
6、sults of theses two factors together with their own potential dangerous slide surfaces are nearly the same.Key words: slope stability analysis; safety factor; FEM, limit equilibrium method, strength reduction1 引言强度折减法和极限平衡分析法是基于有限元应力应变分析评价土体结构稳定的两种主要方法。有限元强度折减法的基本思路是在土体结构的应力应变分析过程中，逐次折减土体的抗剪强度，反复计算直
7、到按照一定的判别标准确定土体结构破坏，把此时的折减系数作为安全系数。基于有限元应力分析的极限平衡法是从传统极限平衡分析方法演变而来，它根据土体的应力分布在给定的滑面上按照力或力矩的平衡条件计算安全系数，在整个滑动区域上搜索确定潜在最危险滑动面和安全系数。与传统的条分法相比，基于土体有限元应力计算的稳定分析方法具有明显的优点：应力计算不再需要刚性土条的假设和内力分布的各种假定；在有限元分析的意义上严格满足土体内力平衡和变形相容条件；可以考虑土的复杂本构关系；适应各种复杂荷载条件和边界条件。强度折减法和基于有限元应力分析的极限平衡法都建立在有限元分析的基础上，都可以考虑土体的弹塑性本构关系以及变形
8、对土体应力的影响，都可以得到最危险滑动面及相应的最小安全系数。比较而言，强度折减法的优点是可以反映土体结构破坏的演进过程，可以给出最容易出现破坏的区域，不需要搜索最危险滑动面；缺点是计算工作量大，对复杂土体结构的适应性比较差；目前遇到的最大困难是不能给出统一的破坏判断标准。基于有限元应力分析的极限平衡法虽然不能反映土体最容易出现破坏的区域和破坏演进过程，但是它计算过程简单，便于实际应用。要把基于有限元应力分析的极限平衡法，特别是非圆弧滑面的应力分析法引入工程实用，必需解决以下问题：(1) 如何合理定义安全系数；对于任意形状的滑面，安全系数的定义是否有意义？(2) 如何确定允许安全系数；基于有限
9、元应力分析的极限平衡法的安全系数与传统条分法的安全系数是什么关系？(3) 如何有效搜索全域最危险滑动面；基于有限元应力分析的极限平衡法与传统条分法和强度折减法得到的最危险滑动面是否相同或非常接近？本文将说明阻滑力的代数和与滑动力代数和相等是土体沿滑面整体达到极限平衡的充分必要条件，用沿整个滑面的抗剪强度与实际剪应力之比定义的安全系数是土体沿滑面整体强度储备的平均值，它与传统条分法中建立在力或力矩平衡基础上的安全系数定义完全一致，并且不要求滑面为圆弧。算例结果表明基于有限元应力分析的极限平衡法与传统条分法和强度折减法得到的最危险滑动面及相应安全系数非常接近。2 滑面上土体极限平衡的充分必要条件取
10、滑面以上土体为分析对象，滑面上分布的土体剪切力（滑动力的反力，下称滑动力）与垂直滑面的法向力和作用在土体上的所有外力相平衡。所谓土体沿滑面的极限平衡是一种设定状态。以平面应变问题为例，设为通过土体区域的任意形状连续曲面（线），土体沿整体达到极限平衡是指：在曲面每一点的微元长度上沿曲面切线方向的滑动力与抗剪强度对应的阻滑力（下称阻滑力）相等。基于强度储备的概念定义安全系数要求设想沿滑面土体处于极限平衡状态，这是建立边坡稳定分析极限平衡方法的基础。首先，若曲面每一点微元长度上土体的滑动力与阻滑力相等，那么整个曲面上土体滑动力（矩）和阻滑力（矩）的合力（矩）也相等，如图1所示。图1 曲面上一点力和力
11、矩的平衡即若： (1)则 (2)和对任意一点 (3)上两式中， 分别是曲面上一点土体微元长度上的滑动力和阻滑力，和是土体剪应力和抗剪强度，n代表整个曲面上土体微元的数量。其次，曲面上每一点土体微元长度上滑动力和阻滑力相等的充分必要条件是： (4)即沿曲面土体剪切力和抗剪力的代数和相等。对于平面问题，若沿曲面每一点土体微元长度上的滑动力和阻滑力相等，即式 (1)成立，亦即式 (2)、式 (3)成立，那么 (5)即 (6)式中为所考虑的点沿滑动方向的微元长度，为该点沿滑动方向的单位方向向量。而若要式(6)成立，必需 (7)则必然 (8)进一步可以写成式(4)。反过来，如果式(4)成立，则有 (9)
12、因为对于稳定或者处于极限平衡状态的土体每一点都必有： (10)且，则要式(9)成立，必需 (11)即得到式(1)，于是有式(2)和式(3)，亦即沿曲面每一点土体微元长度上的滑动力和阻滑力相等。说明若土体沿曲面整体达到极限平衡，则式(4)成立；反之，若式(4)成立，则土体沿曲面整体达到极限平衡。即土体沿其区域内任意形状连续曲面（线）整体达到极限平衡的充分必要条件是 (12)3 滑面稳定安全系数定义对于正常工作的土体结构，在其任意一个曲面上土体都不会达到极限平衡状态。因此稳定性评价有两种途径：一是增加荷载使土体沿某一曲面整体达到极限平衡状态，此时的荷载值可以称为极限荷载。极限荷载与原有设计荷载或实
13、际作用荷载的比值称为超载系数；二是计算土体沿最危险潜在滑面整体达到极限平衡状态时的强度折减系数，也可以称为强度储备系数或安全系数。设是沿曲面使土体各点均达到极限平衡状态的强度折减系数，那么土体沿曲面整体达到极限平衡的充分必要条件是 (13)应用中值定理，令 (14)则 (15)K是使土体沿滑面整体达到极限平衡的强度折减系数（函数）的中值。如果式(13)成立，则必有式(15)成立；反之，如果式(15)成立，则必有一函数使之满足式(14)，进而使式(13)成立。因此，式(15)是在整体平均（中值）意义上土体沿滑面达到极限平衡的充分必要条件。K也是通常在有限元边坡稳定分析中根据土体强度定义的安全系数
14、。因为是沿曲面使土体各点均达到极限平衡状态的强度折减系数，也可以理解为土体各点极限抗剪强度与实际发挥强度的比值，所以K的物理意义是沿曲面土体整体达到极限平衡时的平均强度折减系数，或称为强度储备系数。4 若干问题讨论4.1 安全系数定义安全系数的定义和最危险滑面搜索是边坡稳定分析极限平衡方法的两个要素。在传统的极限平衡法中，虽然在土体内力分析中应用了强度折减的思想，但是安全系数仍然定义为滑面阻滑力（矩）和滑动力（矩）之比，在物理概念上必须是矢量和之比，只有在圆弧滑面的假定下，力矩的矢量和才可以化为阻滑力和滑动力的代数和。因此一般认为按照式(15)定义的安全系数物理意义不明确。于是在基于有限元应力
15、分析的极限平衡法中，也曾尝试其它各种不同的安全系数定义。但是从前面的讨论中可以看到，按照式(15)定义的安全系数不仅具有明确的物理意义，而且在形式上就是沿滑面阻滑力和滑动力的代数和之比。4.2 滑面形状在前面的讨论中，并没有要求滑面必须为圆弧，因此，对于任意形状滑面，K都具有同样的物理意义。也就是说，对于任意形状的滑面，都可以用式(15)定义安全系数，也都具有明确的物理意义。4.3 与条分法安全系数的关系无论是按照力平衡或者力矩平衡定义安全系数，传统条分法中的安全系数公式都可以由前述强度折减的概念得到。文献1中说明了简单条分法中阻滑力矩与滑动力矩之比安全系数如何等价于式(15)定义的安全系数。
16、可以看到，传统条分法中安全系数的定义与式(15)具有完全相同的物理意义，两者是一致的。传统条分法与基于有限元应力分析的极限平衡法都是计算土体的强度储备，因此可以说，稳定分析的传统条分法与基于有限元应力分析的极限平衡法是同一种方法，两者的区别仅仅在于内力计算方法不同。4.4 与强度折减法的关系从前面的讨论可以了解，基于有限元应力分析的极限平衡法在本质上可以理解为一种强度折减方法，只是它的滑面破坏判别标准是土体沿滑面整体达到极限平衡。两者的物理本质相同，但是滑面破坏判别标准不同。4.5 适用条件在前面的讨论中我们设定对土体每一点都必有，或者，这要求土体处于稳定或者临界平衡状态。土体处于滑动状态不能
17、满足上述条件。因此按照式(15)定义安全系数的条件是土体处于稳定或者临界平衡状态。4.6 最危险滑面位置算例表明，按照式(15)定义安全系数搜索得到的最危险滑面与传统条分法以及强度折减法得到的最危险滑面位置非常接近，安全系数数值也基本相同。5 算例引用赵杰2,3的计算结果，同Griffiths和郑颖人等计算结果相比。其中基于有限元应力分析的极限平衡法采用邵龙潭以节点坐标作为滑面搜索变量的计算程序，土体应力采用Geo-Slope和Z_Soil计算程序得到。图2所示为一坡比为1:2的天然均质边坡，Griffiths4采用强度折减法给出的边坡安全系数为1.4，应用Slope/W软件和Slide软件，
18、采用Bishop法得到的安全系数为1.38，基于有限元应力分析的极限平衡法得到的安全系数为1.39，三种方法的最危险滑面比较如图所示。图2 天然边坡最危险滑动面的比较某均质土坡5，坡高H =20 m，内摩擦角，粘聚力=42 kPa，计算容重分别取20kN/m3和25kN/m3，坡角分别取30º，35º，40º，45º，50º。基于非关联流动法则，采用与M-C准则精确匹配的D-P准则，分别采用基于有限元应力分析的极限平衡法、强度折减法和传统极限平衡条分法进行稳定分析。基于有限元应力分析的极限平衡法采用岩土工程专业有限元软件Z_Soil计算边坡土体
19、的应力场；强度折减法分别采用大型通用有限元软件ANSYS以及岩土工程专业有限元软件Z_Soil，以有限元数值计算是否收敛作为边坡失稳破坏标准；传统极限平衡方法采用加拿大Geo-Slope公司的边坡稳定分析软件Slope/W。表1 用不同方法求得的安全系数方法容重取20kN/m3，不同坡角下的安全系数30º35º40º45º50º滑面应力法1.5701.4371.3301.2301.140ANSYS1.5601.4201.3101.2101.120Z_Soil1.5601.4201.3101.2201.130Bishop法1.5561.4161.
20、3021.2041.118Spencer法1.5531.4131.3001.2041.120方法容重取25kN/m3，不同坡角下的安全系数30º35º40º45º50º滑面应力法1.4081.2871.1781.0751.007ANSYS1.3901.2701.1601.0601.000Z_Soil1.3901.2601.1501.0701.000Bishop法1.3961.2631.1541.0640.985Spencer法1.3921.2601.1521.0630.985注：方法列出的为郑颖人等采用ANSYS软件计算的结果。从表1的结果可以
21、看到，两类有限元方法得到的安全系数非常一致，与传统极限平衡条分法 (Bishop、Spencer) 的结果也非常接近。图3和图4给出了坡角30º和50º时基于有限元应力分析的极限平衡法、应用ANSYS和Z_Soil程序的强度折减法、传统极限平衡条分法四种方法得到的最危险滑动面，滑动面的形状也非常接近。用等效塑性应变剪切带表示的滑动面形状（ANSYS）用大主应变剪切带表示的滑动面形状（Z_Soil）图3 坡角50º下滑动面形状比较用等效塑性应变剪切带表示的滑动面形状（ANSYS）用大主应变剪切带表示的滑动面形状（Z_Soil）图4 坡角30º下滑动面形状比
22、较注：图中虚线表示的为传统极限平衡条分法中用Spencer法得到的滑动面形状，实线表示的为基于有限元应力分析的极限平衡法搜索得到的滑动面。6 结论大约在1998年，作者即指出“可以用沿任意形状滑面阻滑力和滑动力的代数和之比定义安全系数，它具有明确的物理意义”，但是未能得到认同。因为长期以来，许多学者都认为“在非圆弧平面曲线上，内力（应力）是矢量（二阶张量），不能用代数和（因为方向不一致）之比定义安全系数”。因为力是矢量，所以对于非圆弧和非直线滑面，不能用沿滑面的阻滑力和滑动力的代数和之比定义安全系数。由此，有学者提出采用“力矢量向主要滑出面投影”，或者“力矢量向坐标轴投影”，再代数加和计算安全
23、系数的方法6。另一方面，采用有限元应力应变分析得到边坡的应力分布，有效地解决了稳定分析中的内力计算问题。但是要基于有限元应力分析结果确定边坡的稳定性，首先会遇到如何定义安全系数的问题。有作者专门讨论各种常用的安全系数定义7，从局部强度安全系数，到毕肖普的定义，再到公式（15）。认为用公式（15）定义的安全系数只在圆弧滑面条件下具有物理意义，在非直线和非圆弧滑面条件下，“其物理意义受到一些学者的质疑”，当剪应力的方向沿滑面发生改变时，其“意义更加模糊”。本文的讨论将建立在刚性土条（块）假定下的边坡稳定极限分析和基于有限元应力分析的边坡稳定分析统一起来，即两者的安全系数定义都是沿滑面平均的强度折减
24、系数。公式（15）定义的安全系数不仅适用于圆弧滑面而且适用于任意形状的（凸曲线）滑面；传统的瑞典圆弧法和毕肖普法也适用于非圆弧滑面。同时也不再需要各点（土条）等K（常数）的假定。采用“力矢量向主要滑出面投影的计算方法”，或者“力矢量向坐标轴投影”的方法导出安全系数的定义没有必要。基于有限元应力分析的极限平衡法与传统条分法和强度折减法在本质上是一致的，算例得到的安全系数和最危险滑面位置都很接近。在本质上，采用式（15）的安全系数定义进行边坡稳定分析和有限元强度折减法也是一致的。前者只需求解一次边坡应力就可以得到安全系数的估计值，可以比有限元强度折减法节省很多计算工作量。用有限元法计算内力时已经应
25、用力的平衡条件，这和沿滑面的极限平衡条件不同。沿滑面的极限平衡条件是指在实际应力分布条件下，折减土体抗剪强度使其达到整体滑动或者接近滑动的平衡状态。因此它是对土体强度储备的一个估计。但是如果土体抗剪强度折减，土体的力学性质，相应的内力分布也会发生变化，所以这种估计是近似的。本文讨论的安全系数定义，只适用于处于稳定或者沿某一滑面接近临界平衡状态的土体结构。参 考 文 献1 钱家欢, 殷宗泽. 土工原理与计算M. 北京: 水力水电出版社, 1994, 302-304.2 赵杰, 邵龙潭. 填筑和开挖边坡的稳定性分析J. 岩土力学, 待刊.3 赵杰, 邵龙潭. 平面应变条件下两类有限元边坡稳定分析方
26、法比较研究J. 岩土力学, 审稿中.4 Griffiths D V, Lane P A. Slope stability analysis by finite elementJ. Geotechnique, 1999, 49(3): 387-403.5 郑颖人, 赵尚毅. 有限元强度折减法在土坡与岩坡中的应用J. 岩石力学与工程学报, 2003, 23(19): 3381-3388.6 丰定祥, 吴家秀, 葛修润. 边坡稳定分析中几个问题的探讨J. 岩土工程学报, 1990, 12(3): 1-9.7 郑宏, 田斌, 刘德富, 等. 关于有限元边坡稳定分析中安全系数的定义问题J. 岩石力学与工程学报, 2005, 24(13): 2225-223