北京工业大学-工程数学-薛毅-作业1.docx

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1、数学建模入门1. 贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子,他们打算用20年的时间还清贷款。目前,银行的利率是0.6% /月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下,小王夫妇每月的还款额是多少?共计付了多少利息?(2)在贷款满5年后,他们认为他们有经济能力还完余下的款额,打算提前还贷,那么他们在第6年初,应一次付给银行多少钱,才能将余下全部的贷款还清?(3)如果在第6年初,银行的贷款利率由0.6%/月调整到0.8%/月,他们仍然采用等额还款的方式,在余下的15年内将贷款还清,那么在第6年后,每月的还款额应是多少?(4)某借贷公司的广告称,对于贷款期在20年

2、以上的客户,他们帮你提前三年还清贷款,但条件是:(i)每半个月付款一次,但付款额不增加,即一次付款额是原付给银行还款额的1/2;(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作,因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析,小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答:首先根据已知条件建立贷款还款的数学模型:假设ai为第i个月的欠款额,r为月利率(本题中初始为0.6%),x为每月的还款额。由题中所描述的等额还款方式(每月还款额相同)可得出还款的迭代方式如下:第i个月的欠款额第(i-1)个月的欠款额*月利率第(i-1)个月的欠款额每月的还款额。期数本金利息还款额归还本金 =还款额 - 当月利息剩余本

3、金1a1a1*0.6%xb1=x-a1*0.6%c1=a1-b12a2=c1a2*0.6%xb2=x-a2*0.6%c2=a2-b23a3=c2a3*0.6%xb3=x-a3*0.6%c3=a3-b3推荐精选240a240=c239a240*0.6%xb240=x-a240*0.6%c240=a240-b240=0迭代公式a(i) = a(i-1)-b(i-1) =a(i-1)-x-a(i-1)*0.6% = a(i-1)(1+0.6%)-x即:aiai1(1r)x,i1,2, , n(本题中n为240)由以上模型可得出题目解答:(1) 根据建模公式推算,小王夫妇第i个月的欠款额应为:ai a

4、i1(1r)xa0(1r)ix(1r) i1(1r)1a0(1r)ix第n个月还款完,即an0令in,得:xa0r小王夫妇贷款20万则a0200000,银行利率为r0.6%,贷款20年为240个月,则n240所以:x1574.70即:小王夫妇每月应还款1574.70元合计还款总额:1574.70*240=377928.00元合计付利息1574.70*240200000177928.00元(2)满五年后提前还款,则应计算i60时的欠款总额并一次还清。 a60200000*(10.006)601574.71*173034.90元所以小王夫妇在第6年初一次付给银行173034.90元即可将欠款还清(

5、3)五年后利率调整,即为,贷款额为剩余欠款173034.90元,a0173034.90,银行利率为r0.8%,贷款15年为180个月,则n180所以,x1817.33元第六年利率调整后,每月应还款1817.33元。(4)若小王夫妇不请借贷公司还款,由题(1)已知还款总额=377928.0元。推荐精选若请借贷公司帮助还款,则是提前三年还完,即17年还完贷款。每半个月付款是原来付款的一半,但是需要付两次,每个月还款额不变。每次还款额:1574.699*0.5,总的还款次数:17*12*2408,付给借贷公司佣金:200000*10%所以,通过借贷公司还款的总的还款额:1574.699*0.5*40

6、8+200000*10%341238.60元。相比之下,委托借贷公司可以节省377928.00341238.6036689.2元,所以小王夫妇可以考虑委托借贷公司还款。2. 冷却定律与破案按照Newton冷却定律,温度为T的物体在温度为To (To<T)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于晚上7时30分发现一具女尸,当晚8时20分法医测得尸体温 度为32.6,一小时后,尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4,,已知室温在几个小时内均为21.1,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人,但张某矢口否认,并有证人说:“下午张某一直

7、在办公室,下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟,问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外?解答:首先,牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)-T0成正比。所以,得出微分方程dT(t)dt=kTt-T0,K为比例常数。任意时刻t,物体的温度为Tt=T0+Cekt,C为常数根据已知条件,记晚上8时20分为t=0时刻,T(0)=32.6,T(1)=31.4,T0=21.1:T0=21.1+Cek*0=32.6Tt=21.1+Cek*1=31.4求解函数得,k=-0.11,C=11.5,即Tt=21.1+11.5*e-0.11*t推荐

8、精选假定人的正常体温为37,代入公式得t=-2.95小时, 即遇害时间为8.33-2.95=5.385时23分。张某在5时离开办公室,步行需要5分钟到达案发地点,所以张某不能排除作案嫌疑。3. 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山,下午5时到达山顶并留宿,次日8时沿同一条路径下山,下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一是可经过路径中的同一地点,为什么?解答:令 :A(t)表示此人第一天上山时t时刻离山脚的路程;B(t)表示此人第二天下山时t时刻离山脚的路程。假设山顶到山下的总路程为S,由已知条件可知:A(8)=0,A(17)= SB(8)= S,B(17

9、)=0令 :C(t)= A(t)- B(t); 则C(8)=-S,C(17)= S;由于C(t)为连续函数,由零点定理推出结论:在t=8,17中间,至少存在一点 t 使C(t)= A(t)- B(t)=0;即A(t)= B(t),可证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。(2)甲乙两战之间有汽车相通,每隔10分钟甲乙两站互发一趟车,但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙,某人每天在随机时刻到达丙站,并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站,大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的?解答:根据题中描述可知,坐乙站发的车的概率为

10、甲站的九倍。可以理解为从乙站发车到甲站经过丙站的时刻要比另一个早1分钟,即从甲站出发到达丙处的第i辆车,总比从乙站出发到达丙处的第i辆车提前9分钟。所以经过丙站的时刻表可安排为:甲站发来的车:6:00,6:10,6:20乙站发来的车:6:09,6:19,6:29(3)张先生家住在A市,在B市工作,每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站,他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班,乘早一班火车于17:30抵达A市火车站,随即步行回家,他妻子像往常一样驾车前来,在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟,问张先生步行了多长时间?推荐精选解答:假设张先生步行的距离为S,则妻

11、子比往常少开了张先生所走距离的往返距离2S,因为提前了10分钟到家,所以妻子开车行驶2S距离的时间为10分钟。妻子往常是在18:00整在火车站接张先生,今日在距离火车站S距离的地方遇到张先生,这个距离需要开车5分钟,所以妻子遇到张先生的时间为17:55分。张先生17:30下车,17:55分遇到妻子,所以张先生走了55-30=25分钟。(4)一男孩一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学,每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩处奔向男孩,如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时,小狗

12、也往返奔波在他们中间,问当他们到达学校时小狗在何处?解答:男孩和女孩从学校到家的时间都是0.5小时,当他们到家时小狗也到家,所以小狗往返跑的时间也是0.5小时,由于小狗的速度是每小时6公里,因此小狗所走的路程为3公里。设S为初始状态时小狗与家的位移, Si表示小狗最终的位移。i表示小狗与人的相遇次数ti为第i次小狗与人相遇时所经历的总时间;v1、v2、v3分别表示小狗、男孩、女孩的运动速率,Si表示小狗第i次与孩子相遇时小狗的位移。初始时刻小狗与女孩相向而行;i=1之后变为小狗击男孩;i=2之后小狗再追女孩,如此往返。所以,i为奇数时小狗与女孩相遇;i为偶数时小狗与男孩相遇。S=Si-v0*t

13、i-12,i为奇数-Si-v0*ti-22*v0-v1v0+v1,i为偶数当i为无穷多次时,可知S=0,对任意的Si,S0。即当S=0时,小狗的最终位置推荐精选Si可以为-1,2中的任意数。 由上面分析可知,在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的情况下孩子到学校时小狗的最终位置不确定。4. 加分实验(公平投票问题)某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才,根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金,于是该基金的委员会聘请了数名专家,按照如下规则进行评比。1.为了公平性,评委对本单位选手不给分;2.每位评委对每位参与申请的人(除本单位选手外)都必须打分,且不打相

14、同的分;3.评委打分方法为给参加申请的人排序,根据优劣分别记1分、2分、以此类推。4.评判结束后,求出各选手的平均分,按平均分从低到高排序,依次确定本次评比的名次,即平均分最低者获得资助最高,依次类推。本次基金申请中,甲所在单位有一名评委,这位评委将不参加对选手甲的评判,其他选手没有类似情况,评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理?若不公平,能否做出修正来解决选手甲的抱怨?解答:令评审个数为n,根据评分规则,在一般情况下评委给出的评分分别为a1,a2,a3an,所以该选手的平均得分为X1=a1+a2+ann由于回避规则,甲的单位不得为甲评分,则甲的得分与一般选手有差别,应为X2=a1+a2+an-1n-1二者之差为X2-X1=a1+a2+an-1n-1-a1+a2+ann =a1+a2+an-1-an(n-1)n(n-1)推荐精选可知:两者之差不恒等于0,所以此规则对于选手的比分确实有不公平之处。若在尽可能公平的情况下制定得分规则,可判断出甲所得到的公平平均分应介于X1和X2之间。可以用X1和X2的几何平均值来定义,即X=X1*X2 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!) 推荐精选

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