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1、圆锥曲线设而不求法典型试题例1,弧ADB为半圆，AB为直径，0为半圆的圆心，且 0D垂直于AB , Q为半径0D的中点，已知 AB长为4, 曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点 D的直线与曲线 C交于不同的两点M、N，求三角形 OMN面积的最大值。例2：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L,使L与已知双曲线交于点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。解：假设存在满足题意的直线L,设Qi(Xi,Yi), Q2(X2,Y2)代人已知双曲线的方程，得xi2- yi2/2=1，x22-y22/2=1-，得(X2-x
2、i)(x2+xi)-(y 2-y i)(y 2+yi)/2=0 o当Xi=x2时，直线L的方程为x=i，此时L与双曲线只有一个交点(i,0)不满足题意;当 xi 孜2 时，有(y2-yi)/(x2-xi)=2(x2+xi)/(y2+yi)=2.故直线L的方程为y-1=2(x-1)检验：由 y-1=2(x-1) , x2-y2/2=1，得 2x2-4x+3=0,其判别式"=-8 < 0,此时L与双曲线无交点。综上，不存在满足题意的直线3例3,已知，椭圆C以过点A (1 ,-),两个焦点为(一1 , 0) (1, 0)o2(1) 求椭圆C的方程；(2) E,F是椭圆C上的两个动点，
3、如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。解 由题意，c= 1,可设椭圆方程为-194b2因为A在椭圆上，所以x2所以椭圆方程为 一4i1 b22' 1.3(H)证明设直线AE方程：得yx2k(xb22y4b21,解得b2=3, b23 (舍去)。41)3，代入7k)212 0(3+4k2) x2+4k(3 2k)x 4(23设 E ( Xe , Ye ), F ( Xf , Yf ) 因为点 A ( 1, 一)在椭圆上,2所以XE324( k)2 1223 4k23yEkxEk 。2k代k，可得4(2 k)2 122YfkxF3 k。2Xf
4、3 4k2，所以直线EF的斜率kEFYfYek(xF xE) 2kXfXeXfXe即直线EF的斜率为定值,其值为1。2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以120经过椭圆C:2 X2 a24,已知直线x 2y 21(a b 0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于X轴上方的动点，直线,(1) 求椭圆C的方程；(2) 求线段MN的长度的最小值；AS,BS与直线| : x10分别交于3解 方法一 (1)由已知得，椭圆 C的左顶点为A( 2,0), 2x 2彳7 y 1k显然存在，且k 0，y k(x 2) x22“ 得(17 y 116k24/曰厂得1 4k上顶
5、点为D(0,1), a 2,b1故椭圆C的方程为(2)直线AS的斜率从而M(®曙33设 S(X1,yJ,则(2),x故可设直线AS的方程为y k(x 2)，2 2 24k )x 16k x216k4 0，鲨，从而y14k24k1 4k2即S(122 8k企),又 B(2,0)4k4k2 '1丄(x4k1032)得10313k10%丄)故|MN |3k16k13 3k0,当且仅当16k3型丄，即3 3k| MN |13k丄时等号成立4k 1时，线段MN的长度取最小值4例5 已知点 A(X1, y1) , B(X2, y2) (X1X2 0)是抛物线y 2 px( p 0)上的两
6、个动点，0是坐标原点UUU UUIUOA,OB 满足 OA OBuuuuuuuuu uuu OA OB22设圆 C 的方程为 X y (X1 X2)X (y1 y2)y 0，向量(1)证明线段AB是圆C的直径；(2)当圆C的圆心到直线 X-2Y=0的距离的最小值为解析：(I)证明UUU2 uuu uuuOA 2OA OB uuu uuu 整理得：OA OB1： QUUU2OB0 ,uuu uuuOA OBmu2OAuuuOAuuu uuu2OA OBuuuOB ,UUL 2OBuuu(OA时，求p的值5uuu 2OB)2 (OA OB)£3UUU UUU 2X1 X2 y1 y2 0
7、设M(x,y)是以线段即(x xj(x X2) 整理得:X2' 2故线段AB是圆C的直径AB为直径的圆上的任意一点(y yJ(y y?) 0y2 (X1 X2)x (y1uult ，则MAUULTMBuuuuuuuuuuuuuuu uuu 2证明2： Q OAOBOAOB,(OA OB)UUU2uuu uuuUUU2UUU2uuuuuu uuu2OA 2OA OBOBOA2OA OB OBuuu uuu整理得：OA OB0y2)y00Xi xyi 目2UUU (OA.(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则uuu 2OB)2即 31 31X X2 x X11(x Xi, X X2)
8、X2 y2 (X1 X2)X (y1y2)y0故线段AB是圆C的直径 uuu uuu 证明 3： Q OA OBuuuOAuuu OBuuu uuu,(OA OB)UUU2uuu uum UUU2OA 2OA OB OB uuu uuu 整理得：OA OB 0UUU2OAUUU UUU UUW2 2OA OB OBX1 X2y1 y20 (1)去分母得：(X X1)(x X2) (y y1)(y y?)0点(X1, yd, y2),(x2,1)(x2, y2)满足上方程，展开并将(1)代入得:2 uuu uuu 22 (OA OB)2以线段AB为直径的圆的方程为y1 y2 )22(xXiXn
9、2r)(y展开并将(1)代入得：x2 y2 (x-i x2)x故线段AB是圆C的直径(II)解法1:设圆捲 x22y1 y22px1,y222 2% y24p2X2 y1 y2Q y12X!X2又因1224(X1 X2) (y1 y2)(yi y2)y oC的圆心为C(X,y),则2px2(p 0)X1 X2y1 y22Q X| x2yi y22 2yi y24p20, yi4p2i4py2Xix2i 22(y2 2p2)p所以圆心的轨迹方程为(yi2y2i护1y22 2%y2)学4pc2px 2p设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则i 22l (y2 2p2)2y|p75d lx 2y|
10、 d .5l(y p)2p2|当y=p时,d有最小值-匕,由题设得 pV5V5p 2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则y2 2py 2p2|2、55Q yi2x|x2又因xxi x22yi y?222pxi,y2 2px2(p2 2yi y24p2yi y200)X2x| x2Q x| x2yi y2x亠2yi y22 2yi y24p20, yi y24p2i , 2(yi4p2y2"24pi 22-(y2 2p2)ppx 2p2所以圆心的轨迹方程为 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为m 2因为 x-2y+2=0 与 y2px 2 p2无公共点所以当x-2y-2
11、=0与y2px 2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为亠55x 2y 2 0L (2)y2px 2p2L 将代入得y2 2py 2p2 2p 02 24p 4(2 p 2p)0Q p 0p 2.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则yiy2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则XiX22(yiy2)I2 2Q yi 2pXi2 2px2(p0)x(x2又因xi X2yi y2X2yi y22 2yi yyi y2,24pX20,yi y2y24p21 i-(%y22 2 yi y24p2Q x)0yixi)(yi y2)I.5I yi2 y22 2y°2 4p(yi 祠 8p2|4>/5p2 2(yi_y2_2p) _4p45p当yiy22p时,d有最小值,由题设得p 2.