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1、常用逻辑用语全章复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”
2、、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为，（3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为，.要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）：用“且”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“且”，相当于集合中的交集.（2）：用“或”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“或”，相当于集合中的并集.（3）：对命题加以否定，得到的新命题，读作“非”或“的否定”，
3、相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p则q”形式的命题：若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如AÍB可判断为A
4、22;B；A=B可判断为AÞB，且BÞA，即AÛB.如图： “”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q； 逆否
5、命题：若q则p.四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：当、同时为假时，“或”为假，其它情况时为真
6、，可简称为“一真必真”；当、同时为真时，“且”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；“”与的真假相反.要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ”表示，读作“对任意 ”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x) 是关于x的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表
7、示，读作“存在 ”。含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x) 是关于x的命题. 对含有一个量词的命题进行否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p： ，他的否定： 。全称命题的否定是特称命题。 （2）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p： ，他的否定： 。特称命题的否定是全称命题。 要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命
8、题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：正面词等于大于小于 是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个【典型例题】类型一：命题的四种形式例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。【思路点拨】找准条件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断.【解析】逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab0，则a0且b0，真命
9、题； 逆否命题：已知是实数，若a0且b0，则ab0，真命题。【总结升华】1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式1】“已知是实数，若，则”，写出下面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为： , ；上述命题的否命题为： , ；上述命题的否定为： , .【答案】 逆命题：已知 是实数，若 ，则，；假命题。否命题：已知是实数，若或，则；假命题。命题的否定：已知是实数，若，则.假命题。【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实
10、根；（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。【答案】（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题； 否命题：若q1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题； 否命题：若x2+y20,则x,y不全为零，真命题；逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】例2. 写出下列命题的否命题： （1）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0； （2）若x2+y2=0，则x，y全是0.【解析】（1）若，则a，b
11、，c都不为0；（2）若则x，y不都为0.【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定.举一反三：【变式】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。【答案】（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题； 否命题：若q1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题； 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题； 否命题：若x2+y20,则x,y不全为零，真命题；逆否命题：若x,y不全为零，则x
12、2+y20，真命题。类型二：充分、必要条件，充要条件的判断例3. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）。（1）已知：；：方程有实根. 则是的 条件；（2）已知：:；:.则是的 条件.【思路点拨】运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断.【解析】 (1)方法一：定义法方程有实根，且方程有实根.所以是的充分而不必要条件。方法二：从集合的观点入手：方程有实根因为，所以是的充分而不必要条件.（2）:；:. 由图知：但,故是的充分不必要条件,故是的充分不必要条件.【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论
13、；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.举一反三：【变式1】指出下列各组命题中, A是B的什么条件（1）A：；B：方程有实根；（2）A：；B：；（3）A：圆与直线相切；B：. 【答案】 (1)必要非充分条件或，方程有实根或，或或，即.所以A是B的必要非充分条件(2)必要非充分条件 ；，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件(3)充要条件直线与圆相切 圆(0，0)到直线的距离，即.所以A是B的充要条件.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例2】【变式2】设aR，则a>1是的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充
14、要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 根据幂函数的性质，a>1时成立；但当时也成立，设aR，则a>1是的充分不必要条件.【变式3】(2015 北京)设，是两个不同的平面，m是直线且“m”是“”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.类型三：命题真假的判断例4. 已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假.（1）：是方程的根，：是方程的根； p或q，（2）：， ：是有理
15、数； p且q，（3）：若，则或； 非p【解析】（1）p或q：或是方程的根，真命题；（2）p且 ：是大于3的有理数，假命题；（3）非p：若，则且，假命题；【总结升华】1. 判断复合命题的真假的步骤：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题p和q的真假；根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.举一反三：【变式1】若命题P：，则命题“非P”是（ ）A且 B或 C D 【答案】A ；【解析】因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例3】【变式2】例4 若命题p
16、q是真命题，¬p是真命题，则（ ） （A）p和q都是真命题 （B）p和q都是假命题 （C）p是真命题，q是假命题 （D）p是假命题，q是真命题【答案】D【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）（1）p：在ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q: sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)； 【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)类型四：全称命题与存
17、在性命题真假的判断例5. 判断下列命题的真假： （1）；（2）.【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】命题“x0，)，x3x0”的否定是( )Ax(，0)，x3x0Bx(，0)，x3x0Cx00，)，x03x00Dx00，)，x03x00【答案】C
18、【解析】命题“x0，)，x3x0”是一个全称命题其否定命题为：x00，)，x03x00故选C【变式2】写出下列命题的否定，并判断真假。 （1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一个实数x0，使得。【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）； （4）：（真命题）。【变式3】（2016 晋中模拟）已知f（x）=exx，g（x）=lnx+x+1，命题，f（x）0，命题，使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（ ） Ap是真命题，f（x0）0Bp是假命题，f（x0）0Cq是真命题，g（x）0Dq是假命题，g（x）0【答案】分别画出 的图象知， ，f（x）0成立，即p是真命题。g（x）=lnx+x+1在（0，+）上为增函数，当x0时，g（x）0，g（1）=0+1+1=20，则：，使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题。则，f（x0）0，g（x）0，综上只有C成立，故选：C