《递推数列地通项公式地求法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《递推数列地通项公式地求法.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、实用文案双流中学 2011 级高考第一轮复习学案§3.4 求数列的通项公式2010-11-10一、考纲解读考试要求：掌握常见的递推模型，会求常见递推数列的通项公式考纲解读：在近年的高考中，对数列递推公式的考查已成为热点，但用递推数列求通项公式有着很强的灵活性，有些学生在解题是摸不着头绪，从而影响了解题速度，也在高考中失去了先机。而解决这一问题的关键在于转化。由递推数列求通项公式，有两个方法：一是先归纳猜想，再用数学归纳法证明；二是构造等差数列或等比数列，运用等差数列或等比数列求解。而等差数列和等比数列是两类最基本的数列。因此，当我们遇到陌生的递推关系式时，通过等价变形，化为熟悉的递推
2、关系式，再化为等差或等比数列，从而达到解决问题的目的。二、回归教材教材再现在教材中出现的递推数列中，最多的是关于Sn ， an 的递推数列，即anSnSn 1 。教材复习参考题B 组第 5 题在数列 an 中， a11， an 13Sn （ n1），求证： a2 ,a3,L , an 是等比数列。三、基础知识与基本方法归纳1 、已知数列 an的前 n 项和公式 S Fn 或 an 与 Sn 的关系求通项公式n（ 1 ）已知数列an 的前 n 项和公式 SnF n ，利用 anS1 , n 1求通项 .SnSn 1, n2基本步骤：当当n1时， a1S1 ；n2时， aSSf n ，此时的 fn
3、 只适用于 n2 ；nnn 1检验 a f 1 是否成立，若成立，则 anf n n N *；若不成立，则通项公式要写成1S1n1分段形式： anSn 1 n.Sn2标准文档实用文案（ 2）已知 an 与 Sn 的关系，可利用anSnSn 1 n2 消去 Sn 或用 SnSn 1 n2 代换 an ，转化为数列 Sn 的递推关系 .【跟踪训练1 】（ 1 ）已知等差数列an的前 n 项和 Snp n2p1np3 ， p 为常数，则数列an的的通项公式为；2S2（ 2 ）数列 annn 2 ， a11.的前 n 项的和为 Sn 满足 an2Sn11（）证明：数列为等差数列；Sn（）求an的通项公
4、式 .（ 3 ）已知数列 an 中， a11 ，当 n2时，其前 n 项和 Sn 满足 Sn2an (Sn1 ) ，求 Sn 的表达2式。标准文档实用文案2 、 an 1 anfnn N * 型的递推数列：nn 1累加法： ana1akak 1a1f kn 2.k2k 1【跟踪训练 2 】（ 1 ）若数列an中， a11an 11n2 ，则 an, ann221（ 2 ）若数列an 中， a1 1, an 1ann N * ，则 an1nan；3 、 an 1 fn an 型的递推数列：累乘法： ana2a3ana1f 1f 2f n 1 n 2 .a1a2an 1a1标准文档实用文案【跟踪训
5、练 3 】（ 1 ）已知数列 an满足 : a11， 2n 1anan 1 （ nN * 且 n2），求数列 an 的通项公式。（ 2 ）正项数列an 中， a11 ， n1 an 12nan 2an 1 an0 nN * ，则 an；4 、一阶线性递推数列：an 1p anq（其中 p, q 均为常数， pq( p1) 0）构造法：已知an 1qp anq，则 anqp 的等比数列；1p1p1为公比为p【跟踪训练4 】（ 1 ）已知数列an 中，a1, a2a 1 n N *，则 an；1n 1n（ 2 ）已知数列an 中，a11, an 1annN * ，则 an；an2标准文档实用文案5
6、 、 an 1p anq n （其中 p,q 均为常数，pq( p1)0 ）型的递推数列：方法一：一般地，先在递推公式两边同除以qn 1，得 an 1pan1，引入辅助数列 bn （其中qn 1qqnqanp1bnqn），得 bn 1q bnq ，转化为一阶线性递推数列求解。方法二：在递推公式两边同除以 pn 1，得 an 1an1 ( q )n ，引入辅助数列 bn （其中 bnan），pn 1pnpppn得 bn 1bn1 ( q )n ，再用累加法求解p p【跟踪训练 5 】已知数列 an 中， a15， an 11 an(1 )n 1，求 an632标准文档实用文案6 、形如 an 1
7、 p ananb p1, p 0, p1的递推数列：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an 1x(n1) y p(an xny) ，与已知递推式比较，解出 x, y ，从而转化为 anxny 是公式为 p 的等比数列（前提是首项不为0 ）【跟踪训练6 】已知数列an满足 a 4, an3an 12n 1 n N *, n 2 ，求an的通项公式 .17 、形如 an 1p ank （ an0,c0 ）的递推数列：对形如 an 1pank （ an0,c0 ）的数列，求解此数列的通项公式一般在递推关系式的两边取对数，得 lg an 1lg ck lg an ，这样就把问题转化为前面熟悉的问题
8、类型一阶线性递推数列。【跟踪训练7 】标准文档实用文案已知数列an满足 a11, an 11 an2 （其中 a 0 ），求数列 a n 的通项公式 .a8 、形如 anc an1（ c0 ， d0 ）的递推数列：dan 1c形如 ancan 1（ c0 ， d0）的数列，求解此数列的通项公式一般是通过倒数法，把d an 1c相应的递推关系式两边倒数，得11d，这样就化归为熟悉的等差数列问题，再利用相应的等差anan 1c数列来分析与求解。【跟踪训练8 】设等差数列a中， a11 ，且 an 12an(n N * ) ，求数列 an的通项公式nan29 、形如 an 2pan 1qan 的递推
9、数列：形如 an 2pan 1qan （其中， a1a ， a2b ， p q0 ， p24q0 ）的递推数列，求解此数列的通项公式一般用待定系数法，把递推关系式变形为an 2san 1t(an 1san ) ，其中 s,t 满stp足，化归为等比数列问题，再应用前面类型的方法求解。stq【跟踪训练8 】设等差数列an 中， a11 ， a22，且 an 22 an 11 an (n N * ) ，求数列an 的通项公式33标准文档实用文案10 、形如 anan 1pnq 或 anan 1pqn 的递推数列：这种类型一般可转化为 a2n 1 与 a2n 是等差数列或等比数列来求解【跟踪训练10
10、 】（ 1 ）在数列an中， a11， an16nan (nN* ) ，求数列an的通项公式（ 2 ）在数列a中， a11， anan 13n ( nN*) ，求数列a的通项公式nn11 、形如 an 1panq（ p 、 q 、 r 、 s 是常数）的递推数列：ra nspxqx，考查 xn 1pxnqpxnq解特征方程rxs得，ran或 xn1anssr一般地，当特征方程pxqx 有两个不同的根x1 与 x2 时，则数列 anx1 是等比数列；当特征rxsanx2pxqx 有且仅有一根x0 时，则数列 1 是等差数列。方程srxanx0【跟踪训练11 】在数列 an中， a11， an 1
11、12an (nN* ) ，求数列an 的通项公式22an12 、利用归纳猜想法，求通项公式对不便用以上方法求解的问题，可以先根据递推关系求出数列的前几项，总结其规律特征，写出通项公式，然后用数学归纳法证明。【跟踪训练12 】标准文档实用文案 2010 年重庆卷 在数列an 中， a1 1 ， an 1 can cn 1(2n 1) (n N * ) ，其中实数 c 0 。求数 2列 an 的通项公式四、典型例题例 1 、页例 1、已知数列 an 中， a11 ， a22 ，且 an 1(1 q)an qan 1（ n2，高考领航第 46q 0 ）（ 1 ）求证数列 an 1 an (n N *
12、 ) 是等比数列；（ 2 ）求数列 an 的通项公式；（ 3 ）若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项，求q 的值，并证明；对任意的nN * ， an 是 an 3 与 an 6 的等差中项。标准文档实用文案例 2 、已知函数f (x)3x2mx1 是定义在 R 上的偶函数，g(x)5x1p 是定义在 R 的奇函数。数列 an 满足： a11， f (an 1an )g(an 1anan2 )1。（ 1 ）求数列 an 的通项公式；（ 2 ）若 an0 ， Sn 表示 an 的前 n 项和，求 lim Sn 的值。n例 3 、 2010年 湖 北理 科 第 20 题 已 知 数 列 an 满
13、 足 ： a11,3(1an1 )2(1an )，2 1an1an 1anan 1 0(n1)；数列 bn 满足： bn an21 an2 ( n 1).（ I）求数列 an , bn 的通项公式；（ II ）证明：数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列.标准文档实用文案标准文档实用文案例 4 、（仅供选作） 2010年全国卷理科第 22 题 已知数列 an 中， a1 1, an 1 c1 .an（）设 c5 , bnan1，求数列 bn 的通项公式；22（）求使不等式 anan 13 成立的 c 的取值范围。标准文档实用文案例 5、 2010届双流县二诊模拟理科第22 题已知函数 f1 xInx 。xax（）若函数f x 在 1,上是增函数，求正实数a 的取值范围；（）当 a1时，求函数 fx 在1 , 2上的最大值和最小值；2（）当 a1时，证明：对任意的正整数1111n 1，不等式 In n34都成立。2n标准文档实用文案五、课后作业： 高考领航“活页”第243 页 244 页做第2 、 3 、6 、 7、 8 、 9 、 10 、11 、六、反思与小结（本节知识网络与易错易混归纳）标准文档