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1、巧用定义解决双曲线的常见问题现行高中数学（北师大版）选修 2-1第三章，介绍了双曲线的定义、标准方程既简单的 几何性质。学生们学习虽然感到以上只是简单也比较好掌握。 但涉及解决与双曲线有关的问 题时，老师存在一些不得心应手的感觉。 在教学中，本人通过对教材的分析和学生学习情况 调查认为，深入理解双曲线的定义。灵活运用双曲线的定义就可以解决双曲线常见的问题。一、巧用定义解决求值问题2 2例1、 双曲线- y 1上一点P与左右焦点ff2构成=f1pf2，求.f1pf2的内切 94圆与边F1F2的切点N的坐标。分析：设点 P在已知双曲线的右支上，要求点N的坐标。即求 ON的长度，而ON = OF?
2、- OR ,其中OF2 = c=j13 ,只需求NF?的长度，即NF?是圆O M的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点P在已知双曲线的右支上，由题意得NF2PF2 F1F2 - PR2PF2 - PF -2aNF2- 2a 2c2NF2-3，又 OF?=，二 ON = OF? NF? =713 (*13 3)当点P在已知双曲线的右支上时，切点N为顶点（3,0），当点P在已知双曲线的左支上时，切点N为顶点（-3,0）2 2X V例2、 已知F1> F2是双曲线1的左右焦点， A为双曲线的左顶点，P在双曲916线的左支上， PF2F : , PF1F :，求tan cot
3、?的值分析：如右图，先做出PF1F2的内切圆O M，则O M切F1F2于点A , MA等于内aP切圆的半径。且 MF2R , MF1A -22解：做出 PF1F2的内切圆OM，则O M切F1F2于点A ,aPMF2F1, MF1A -22ta二址丄2 AF2 a + c 8co/Wr2 AM r raPtan cot 222 22设F2是曲线C1:6-1的焦点，P为曲线C2: - y 223交点，则PF1 PF2的值PFi|PF2分析:利用双曲线及椭圆的定义找出PR、 PF2之间的关系。解析:设pf1PF2不妨设m . n，显然椭圆和双曲线共焦点(_2,0)，由椭圆和双曲线的定义可知m n =
4、2.6且m - n 2,3m . 6 .3， n二 6 -在三角形PF1F2中，由余弦定理可知PF12+PF222F1F22PFPF2c 0 s F<)PF2 -m2 n2 -(2c)2 _ 12mn3PF1 PF21-cosF1PF2 =_PF1MPF2IXy例6、已知双曲线 2 =1的左右焦点分别为 fcQ) F2(c,0)，以F1F2为直径的ab二、利用定义解决离心率问题2X例4、已知F2是双曲线-a b2y2 =1的左右焦点，过 R作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于 M点，若MF2垂直于x轴，求双曲线的离心率.定义知MF1 MF2兀273MF2=2c tan =c，MF1解析：
5、由题意的 F,F2 -2c，n cos6=2a，则 e=E'3。32 2例5、已知双曲线 务-告"的左右焦点分别为Fj-c,。)F2(c,0)若双曲线上存在一a b点P使得PR =2PF2，求双曲线离心率的范围。解析：由双曲线的定义PFi -PF2 =2a，PR =4a，在也PFF2中，结合双曲线的图像|PF+|PF2|纠RF2，二6a2c,即卩1兰e兰3圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个六边形,球双曲线的离心率。解析：设P为圆与双曲线在第二象限的交点，则FlPF 2，卩&厂，在RtAFiPF?中，PF? PFJJf= 2csin 2cc
6、os c（、3 1） =2a33e = C - 一 3 1 a、紧扣定义求动点的轨迹2 2例7、 已知双曲线 笃一笃=1的左右焦点分别为 Fi、F?，P为双曲线上任意一点,a b.F1PF2的内角平分线I的垂线，设垂足为 M，求点M的轨迹。解析：如图延长 F2M交F1P于N由角平分线及垂直关系得PF2| =|PN，有0M是NF i1AF1F2N 的中位线，从而 OM|= = ?( PF1 PN ) = ?( PF1 PF2)= a，故OM =a为定值，即点M的轨迹是以坐标原点为圆心，a为半径的圆(去掉与x轴的交点)方程为x 2x y一P点的轨迹为1(x _ -4)169四、巧用定义解决特殊问题
7、1、求最值2例10、已知F2是双曲线X2-)1的左右焦点，M(-6,6)是双曲线内部一点，P为 + y2 =a2（x式a）例8已知A( -7,0)，B(7,0) , C(2,12),若双曲线两支分别过2 2 2 2例 9、已知O A : (x 5) y =49 , o B : (x - 5) y = 1 ,若O P 与O A 内切与O B 外切，求O P的圆心的轨迹方程。解析：O A : (x 5)2 y49，圆心 A(-5,0)，半径=7 ,O B : (x-5)2 y2 =1 圆心 B(5,0)，半径 a=1,由题意的 PA 二 r -1, PB = r 1。 PB|PA =(r 1) -
8、(r -78，即P是以A、B为焦点的双曲线的左支。2 2 22a = 8 , a=4 , 2c =10 , c=5, - b =c - a =4。双曲线右支上一点，求PMPFi的最小值解析：如图双曲线的定义 PF PF2| =2a=2，即PF=PF2 -2PM= PM| +|PF2卜2 纠MF2 -2 =肩-62)2+62 2 = 8当且仅当F2、P、M三点共线时“二”成立。2、求三角形的面积2 2例11、已知双曲线方程为笃-笃-1(a b 0),两焦点分别为 Fi，F2,设焦点三角形a b2 ePF1F2 中 F1PF2 -亠证明：S Fipf2 二 b cot。证明2 2 2叮(2。2=时2 =|PF +|PF2 -2PFJPF2 cos0= (PF1 - PF2)2 2PF1 PF2(1cosR4c2 -4a22(1 cosR2b21 - COST“2 co1 - cos21又 s西PF2 =2PF1 PF2Sin日1综上 S岳PF2 =2F1 PF2sinXb2