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1、第一讲 等差数列、等比数列研热点（聚焦突破） 类型一 等差、等比数列的基本运算竽差数列善比数列逋项公式«fj_ d +( n 1) <1g =盘fj" ' q工0)前“项和“H(U|+g)$尸2i iiGlI) t 呻十£d狞,I-9ui anq丨一U(2)</= 1, Sfl = noi例1(2020年高考山东卷)在等差数列an中，a3 + a4+ a5 = 84, a9= 73.(1)求数列an的通项公式； 对任意m M,将数列an中落入区间(9m 92号内的项的个数记为 bm求数列b/的前m项和 解析 因为an是一个等差数列，所以 83+
2、 04 += 3&4 = 84, 所以a4 = 28.设数列an的公差为d,则 5d= a9 a4 = 73-28= 45,故 d= 9.由 a4= a + 3d 得 28= a + 3 x 9,即 a = 1,所以 an= a + (n 1)d = 1 + 9(n 1)*=9n 8(n N ).对 mE N*,若 9°<an<92m则 9m+ 8<9n<92叫 8,因此 9m_ 1+ 1 w n< 92m 1,故得 bm= 92m_ 1 9m_ 1.于是 SrrT b1 + b2 + b3+ bm=(9 + 93+ 92m 1) - (1 +
3、9 + 9m1)9X( 1 81(1 9=1 811 992m+1 10X9 + 1= 80 .L本例(2)屮难点是如轲碉定九"解答时抓住；me N *可判臥*Iz等差等比数列的基本运算中多考查“知三求ii二”，运用方程思想，运算时注盘整体恩想砖运用，以I减少运算量.：4V跟踪训练1. (2020年皖北四市联考)已知数列an为等比数列，且 a1 = 4,公比为q,前n项和为 $，若数列Sn+2也是等比数列，则 q=()A. 2B. 2C. 3D. 3解析：因为数列Sn+ 2是等比数列，所以(S1+ 2)( S3 + 2) = (S2 + 2)2,即 6(6 + 4q + 4q2) =
4、 (6 + 4q) 2，即q( q 3) = 0,t qz 0,. q = 3.答案：C2. (2020年高考广东卷)已知递增的等差数列an满足a1 = 1, a3= a 4，则an =.解析：利用等差数列的通项公式求解.设等差数列的公差为d,则由a3 = a 4,得1 + 2d= (1 + d)2 4,d2 = 4, d=± 2.由于该数列为递增数列， d= 2.an = 1 + (n 1) X 2= 2n 1.答案：2n 1类型二 等差、等比数列的判定与证明数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法: 利用定义证明an+ i an(nN )为常数
5、； 利用中项性质，即证明2&门=+ an+(n2). 证明an是等比数列的两种基本方法：an + 1* 利用定义证明(nN)为一常数；2 利用等比中项，即证明an= anian+ i(n2).a3, a4成等差例2 (2020年高考陕西卷)设an是公比不为1的等比数列，其前 n项和为sn,且a5, 数列.(1)求数列an的公比； 证明：对任意 k N+ , Sk+ 2, 乂，S< + 1成等差数列.解析(1)设数列an的公比为q(qz 0,1),由&5，&3，成等差数列，得 2&3= a§+ 84,即 2a1 q2 = aq4+ aq3.由 a1
6、* 0, qz 0 得 q2 + q 2 = 0,解得 q1 = 2, q2 = 1(舍去)，所以q= 2.证明：证法一对任意k N+ ,Sk + 2 + sk+ 1 - 2Sk= (Sk+ 2 sk) + (Sk+ 1 乂) =ak + 1 + ak + 2 + ak+ 1=2ak + 1 + ak + 1 ( 2)=0, 所以对任意k N+, Sk+ 2, Sk, S< + 1成等差数列.k证法二对任意 k N+, 2S = ” q +1 q (1 q), 1 qk+ 2k+2k+ 1、Sk+2+ S + 1 =a (1 q ) + a (1 q )k + 2k +1、_ai (2-
7、q q ) 1q，kk+2k+1、2S- (S+2+ Sk+1)=瓯 J-q) ai( 2 ：q)'丿 1 q1 qakk +2k + 1、=2(1 q) (2 q q )i qkag2=1q(q+ q2)=0，因此，对任意k N+, Sk+ 2, Sk, Sk+1成等差数列.L本例（2证明尊差数列实质上是利用等差申项法，借用了作差比较法来完成证明过穆.Ii乙若否定某数列是等差（比嶽列，只需举一组反1例即可+对于探索性问題，由前三项成等差（比）确定d1多数后，婪用定艾证明+i4i 3.若敬列%的前”项和 S - a +0=0） 9则為 一定为等產数列且公差d2i2n 4bn =an &
8、#167; + 9.跟踪训练已知数列an和bn满足a1 = m an+1 =入an+ n,（1）当m= 1时，求证：对于任意的实数入，数列an一定不是等差数列; 当X = 1时，试判断数列bn是否为等比数列.解析：证明：当n= 1时，a = 1, a2= X + 1,= X ( X + 1) + 2 = X 2 + X + 2.假设数列an是等差数列，由 a + &3= 2a?,得 X 2 + X + 3= 2( X + 1),即 X 2 X + 1 = 0, A = 3<0,.方程无实根.故对于任意的实数 X,数列a一定不是等差数列.,1 ,12n 4(2)当 X = 2时，a
9、n+ 1= §an+ n, bn = an -3 + 9._2 (n+ 1)4bn+1an + 1 + 3+ 91=(2an+ n)2 (n+ 1)3_1=2an+ 321=一 (an 9/2n 417 + 9)= 2bn，2 42b1= a1 3 + 9= m 9.2 2 1当nr59时，数列bn是以m 9为首项，为公比的等比数列;2当n=9时，数列bn不是等比数列.类型三等差等比数列的性质等羞数列等比数列(1)若川、H、p、qG N * 9(1若叫N*且一几卄rbp+*刑+/)+ q.则如+尙=口卩+呦则at * 5 =知呦性质= %+( fl nt) d(刃皿=6一讯(3 )
10、Sr,r Sa( 一 S i *(3) SIhJ，S2申缶Saw-仍成等色恥仍成等比数列雄数列(気工0)例3(1)(2020年高考福建卷)等差数列an中，a1 + a5= 10, a4= 7,则数列an的公差为()A. 1B. 2C. 3D. 4一 1 一 2 (2)(2020年高考广东卷)若等比数列an满足a2a4=-，则a1asa5=.解析(1)解法一利用基本量法求解.设等差数列an的公差为d,由题意得2a1 + 4d= 10,a1 = 1,解得- d= 2.a1 + 3d = 7.d = 2.解法二利用等差数列的性质求解.在等差数列an中，a1 + a5 = 2a3 = 10,. a3=
11、 5.又 a4= 7,.公差 d= 7 5= 2.(2)利用等比数列的性质求解.数列an为等比数列，2 1 2-a2 a4=a3= 2, a 空=a3.aia3a5= as =-.4答案(1)B4i 运用等差（比）数列的性质来解题可提高解题速:i度，注意数列中项数关系及规律.i跟踪训练（2020年高考安徽卷）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且 a3a11 = 16，贝U log 2a10=（）B. 5D. 7A. 4C. 6解析：利用等比数列的性质和通项公式求解.T a1= 16,. a= 16.又等比数列an的各项都是正数，.a7= 4.又 T 已10= ayq3= 4 X 23= 2
12、5,. log 2已10= 5.故选 B.答案：B析典题（预测高考）咼考真题【真题】（2020年高考天津卷）已知an是等差数列，其前n项和为Sn, bn是等比数列，且a1 = b1 = 2,aq + bq= 27, S4 bq= 10（1）求数列an与 bn的通项公式；、 证明：Tn_8 = an_1bn+1（nN , n2）.【解析】 （1）设等差数列an的公差为d,等比数列 bn的公比为q,由a1 = b1 = 2,得a4 = 2+ 3d, b4 =2q3, $4= 8 + 6d.2+ 3d+ 2q3= 27,d= 3,由条件，得方程组3 解得所以 an= 3n _ 1, bn= 2, n
13、 N .(2)证明：由(1)得 Tn= 2X 2+ 5X2 + 8X2 + (3 n_ 1) X2，8+ 6d_ 2q = 10,q= 2.（2）记 Tn = ab+ &2匕2 + + anbn, nN ,2Tn= 2x2 n 22+ 5X2 '4 + n + n 3.+-+ (3 n 4) X2 n+ (3n 1) X2 n+1.由一，得一 Tn= 2X 2+ 3X 2 2+ 3X 2 3+ 3X2 n (3n 1) X2 n+16X( 1 2 ) ©门1) x2n +1 2= (3n4) X2n+1 8,n + 1即 Tn 8= (3n 4) X2而当 n2 时，
14、an 1bn+1= (3n 4) X2n+1,所以 Tn 8= an 1 bn+1, nn项和公式、数列求和等知识，本题【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前 中，解题的关键是利用错位相减求和法准确求出Tn,否则不会得出结论考情展望高考对等差、等比数列基本运算的考查一是在选择、填空中考查，二是在解答题中求通项时进行考查, 难度较低，注意方程思想与整体思想的运用.名师押题【押题】已知等差数列an的前n项和为0，且a3 = 5, S15 = 225.(1)求数列an的通项an； 设bn = 2an + 2n,求数列bn的前n项和Tn，【解析】(1)设等差数列an首项为a,公差为d,a1+ 2d= 5,由题意，得15X 1415a1+ d = 225,ai = 1, 解得d=2,an= 2n 1.1n(2) bn = 2an+ 2n =*4 + 2n,Tn= bl + b2+ + bn=2(4 + 42+ 4n) + 2(1 + 2+-+ n)