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1、导数及其应用习题精选、选择题1. 直线y x是曲线y a In x的一条切线，则实数 a的值为（）A.1 B. eC. In2 D 12. 函数f （x） = x3+ ax2 + 3x-9，已知f（x）在x =- 3时取得极值，则 a等于（）A.2 B. 3C. 4 D . 53. 在曲线y = x2上切线的倾斜角为n的点是（）1 11 1A. （0,0）B .（丄,丄） C. （丄,丄）D.（2,4）2 44 164. 若曲线y= x2+ ax+ b在点（0 , b）处的切线方程是x y +1 = 0,则（）A . a= 1, b= 1 B . a= 1, b= 1 C . a= 1, b=
2、1D .a=1, b=15. 函数f x的定义域为 a,b，导函数f x在a,b内的图像如图所示，则函数f x在a,b内有极小值点（）A . 1个 B . 2个C. 3个 D . 4个6. f（X。） 0是函数f x在点X。处取极值的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分又不必要条件13 2 2 7. 已知三次函数 f （x） = -x （4 m- 1）x+ （15m 2m-7）x+ 2在x （ m,m ）是增函数，则m的取值3范围是()A . m<2 或 m>4B . 4 m 2 C . 2<m<4D . 2 m 41）上不是单调函数，
3、则实数k的取值范围（)3 x()9.若函数f （x）12x在区间（k1,kA . k3或C.2 kB .3k1或 1.不存在这样的实数10.已知二次函数f(x)ax2 bx的导数为f'(x) , f'(0)0 ,对于任意实数 x都有f（ x） 0 ,则f （1）的最小值为（）f'（0）A . 3B2、填空题11. 函数y x 2cosx在区间0,上的最大值是2 12、 已知函数f(x) x3 ax在R上有两个极值点，则实数 a的取值范围是 32213已知函数f(x) x ax bx a在x=i处有极值为10,则f(2)等于.14已知函数是定义在 R上的奇函数，当x 0时
4、，xf (x) f (x)，则不等式的解集是三、解答题：15. 设函数f (x) = sin x cosx + x + 1, 0< x<2n,求函数f (x)的单调区间与极值.16. 已知函数f (x) ln x x2 bx.若函数f (x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；17. 设函数 f (x) x3 6x 5, x R.(1) 求f(x)的单调区间和极值；(2) 若关于x的方程f (x) a有3个不同实根，求实数 a的取值范围(3) 已知当x (1,)时,f (x) k(x 1)恒成立，求实数k的取值范围.18. 已知x 1是函数f(x) mx 3(m 1)x nx 1
5、的一个极值点，其中 m 0, n R.(1 )求m与n的关系式；(2) 求f(x)的单调区间；(3) 当x 1,1，函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。19. 已知函数为自然对数的底数)(1) 求的单调区间，若有最值，请求出最值；(2) 是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。导数及其应用参考答案、选择题：1-10 : D D B A A B D A B C、填空题：11.3 ;12. a |a 013.18；14.( 1,0)(1,)6三、解答题(0<
6、 x<2 n)n15.解析f'(x) = cosx+ sin x + 1= 2si n( x + -4) + 1nf '(x) = 0，即 sin( x+ )=-3解之得x=n或x = 2 n.f 极大(x) = f ( n ) = n+ 2 ,x, f' (x)以及f (x)变化情况如下表:x(0 ,n)n3(n, 1n)32 n3(2 n, 2 n)f '(X)+00+f(x)递增n + 2递减3n递增 f (x)的单调增区间为(0，n )和(|n, 2n )单调减区间为(n， 3 n ).3f 极小(x) = f(2 n )=3ny.2 1(0,)2
7、.2)16.由题意：f(x) ln x x bx, f (x)在(0,)上递增，f (x) 2x b 0 对 xx11恒成立，即b 2x对x (0,)恒成立，只需b ( 2x)min ,xx1x 0, 2x 2f2，当且仅当x 时取“ =”， b 2J2 , b的取值范围为(x217.解：(1) f (x) 3(x2 2),令f (x) 0,得x12,x22当 x 或x 时,f (x)0;当.2 x 时,f (x)0 , 2分 f (x)的单调递增区间是(，.2)和C、2,)，单调递减区间是(.2八2)3分当x . 2, f (x)有极大值5 4 2 ;当x2,f(x)有极小值5 4、2. 4
8、分(2)由(1)可知yf (x)图象的大致形状及走向(图略)当5 4、.2 a 5 4、2时,直线y a与y f (x)的图象有3个不同交点，6分即当5 4.2 a 5 4,2时方程f(x) a有三解. 7分(3) f (x) k(x 1)即(x 1)(x2 x 5)k(x 1)2 t x 1, k xx 5在 (1,)上恒成立 9 分令g(x) x2 x 5，由二次函数的性质，g(x)在(1,)上是增函数， g(x) g(1)3, 所求k的取值范围是 k 3 12分018. 解: (1) f'(x)即3m3mx2 6(m 1)x n.因为x 1是函数f(x)的一个极值点.所以f
9、9;(1)6(m 1) n 0,所以 n 3m 6(2 )由(1)知,m 0时，有1 1故由上表知，当f '(x) 3mx26(m 1)x 3m 6 3m(x 1)x (1 )m2当x为化时，f (x)与f '(x)的变化如下表:x(,1-)m11m(1 -,1) m1(1,)f '(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递 增极大值单调递 减0 时，f (x)在(,1(1m22)单调递减，在(1 -,1)单调递增，在m)上单调递减.(3)由已知得f '(x) 3m，即 mx22(m1)x 22 20 又 m 0，所以 x (m 1)x0,即2 2x (m 1
10、)x0,x1,1设 g(x)2(1$x -，其函数图象开口向上，由题意知式恒成立, m m所以g( 1) 0 g(1) 022门0 m m1 0解之得mX m 0所以害m 0即m的取值范围为(-,0)319.解：(1) 当恒成立 上是增函数， 当时，若，若，时，F只有一个单调递增区间(则上单调递减；则上单调递增， 有极小值，也是最小值,-a),没有最值即6分所以当时，的单调递减区间为单调递增区间为，最小值为，无最大值(2)若与的图象有且只有一个公共点， 则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点 由(1)的结论可知10分此时，的图象的唯一公共点坐标为又的图象在点处有共同的切线，其方程为，即12分综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为