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1、德州市2005-2006学年度高二年级期末考试高二数学（理）、选择题1.()A.iiB. iC. 2 D. 2B.1C.22.在抛物线y2=2px（p >0）上，横坐标为A. 12的点到焦点的距离是 5，贝U p的值为（D.43.中心在坐标原点，离心率为5的双曲线焦点在3y轴上，则它的渐近线方程为（5A.y= x44B.y= x54C.y= x33D.y= x42x4.椭圆一16=1的内接正方形的面积是（A. 23 25B.12C.24D.485.用数学归纳法证明1324（n是正整数）时，当n由k到k+1 ,不等式左边的变化是（）A.增加1一项2(k +1)B.增加一1和2k 12(k1
2、)1 两项且减少一项k+1C增加和2k +12(k+1)两项D.增加 一 一项2k +16.空间四边形OABC中,OA = a, OB = b,OC = c.点M在OA上，且0M =2 MA , N为BC的中点，贝y MN等于()121A. a - b c2322B. a3111C. a b - c222221D. a b337.己知双曲线的两个焦点为F 2 C. 5,0）, p是此双曲线上一点且PF1 _ PF2 PF|PF2二2则该双曲2 2xy”A.1B.232x32y2=1C.2x2 彳4 y22y ”D. x14228.己知F1 ,F2分别为椭圆xy-=1(ab 0）的左右焦点，M为
3、椭圆上的一点，MF 1垂直于a2b2则椭圆的离心率为（)12.3A.-B.c.D.2232线的方程为（）x 轴，且/ F1MF2=60 °9. a =(2,t,t),b 二(1 -t,2t T,0),(t是实数)则 |a -b|的最小值是()A. 5 B. 6 C. , 2 D. . 310 .空间不共面的四点 0、A、B、C ,若 0A 0B =0A 0C =0B 0C = 0 ,且 |OA|=|OB|=|OC| ,则 VOA 0B 0C, AB AC >=()A.45 0B.600 C.90°D.135°11. 在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，
4、点p是侧面BB 1C1C内一动点，若点 p到直线BC与直线CiDi的距离相等，则动点 p的轨迹是()A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线12. 在以下命题中，不正确的个数为() a - b = a b是a、b共线的充要条件。若 a/b，则存在惟一的实数 使a丄怎b对空间任意一点 0和不共线三点A，B，C若OP =20A - 20B -0C ,则P、A、B、C四点共面。若 a,b,c .为空间的一个基底，则a b,b c,c a构成空间的另一个基底A.1B.2C.3D.4、填空题13. 己知 a = (-2,5,3) b = (-4,2, x)且 a b = 0则 x=x2y214. 直线x-y+
5、1=0和椭圆 + =1相交于A、B两点，则弦 AB4315. 把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点 E、F分别为AD、BC的中点，点0为原正方形ABCD的中心,则折起后/ EOF=.16. 设X1,X2 - R常数a> 0,定义运算""为x< x2 =4X2 ,等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中,动点p的坐标(x,y )满足关系式： 二a ” x，则动点p的轨迹方程是2 217. 已知 f(z)=|1+ Z| z，且 f(- Z)=10+3i，求复数 z.18. 棱长为1的正方体 ABCD-A 1B1C1D1,E,F,G 分别是 DD 1、
6、BD、BB 1的中点(1) 求证：EF _CF。 (2 )求EF与CG所成角的余弦值。19. 若一直线与抛物线 y2=2px(p>0)交于A , B两点，且0A丄0B，坐标原点0在直线AB的射影为D (2, 1),求 该抛物线的方程.20. 是否存在实数a、b使等式22+ 42+ 62 +( 2n) 2= n(n+1)(an+b)对任意的正整数 n都成立，若不存在，说明理由;若存在，试确定a, b的值，并用数学归纳法证明之21. 直二面角D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为2的正方形，AE = EB , F是CE上的点，且 BF _平面ACE(1 )求证：AE 平面BCE ( 2
7、 )求二面角 B-AC-E 的大小(3)求点D到平面ACE的距离。BC过椭圆中心0,22. (本小题满分14分)已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点 A是长轴的一个顶点,(1) 求椭圆的方程；(2) 椭圆上是否存在两点如图，且 AC BC =0, |BC|=2|AC|,P、Q使/ PCQ的平分线垂直 A0,且PQ平行于AB,并说明理由 EF CF6分参考答案DCDABx=_6BACCC247DC120oy2=4ax(a>0)17解:f(Z)=|1+z| z f( - z)=|1-z|+z设 z=a+bi (a、b R) 由 f( z)= 10+ 3i 得 |1 (a+bi)|+a
8、 bi=10+3i 即J(1_a2 +b2 +a=10_b =3解方程组得丿a =510分所以复数z=5 3i 12分18.证明：如图，以 D点为原点，建立空间直角坐标系,1 1 1(1 )则 E (0,0, ) F( , ,0)C(0,1,0)2 2 21G(1,1,-)21 1111c、=CF =(,-一，0)iEF2 2 22 211111CF()() 0 = 02 2 222(2)以线段AB的中点0为原点，建立空间直角坐标系(2) CG =(1,0,)2|eFI 2CG=逅=2cosEF,CG =EF CGEF|CG =故EF与CG所成角的余弦值为19解：由题意知直线 0D的斜率为1
9、d 1 c / 1、 11 0 (-)2 2 2 2 _ 15j3<5- 152 2a/15 15112分-，所以直线AB的斜率为一2，且过D点,2直线 AB的方程为2x+y 5= 0, 与y2=2px联立消去x得2y +py 5p=0设 A(x i,yi),B(x2,y2)则因 0A 丄 OB，所以 xiX2+yiy2=0yi+y2= p,yiy2= 5p,y2 -5 yi y22525yi +5X1X2=22525 5p=0 得45P=410分所以所求抛物线的方程为y2= - x212分20. 解：存在，2当 n=1 时 2 = 1 x 2 x( a+b)得 a+b=222当 n=2
10、 时 2 + 4 = 2 x 3 (2a+b)得 6a+3b=1042所以得a= b= 4分3 3证明：当n=1时，由以上知等式成立 6分假设当n=k时等式成立，即22224222+ 42 + 62+( 2k) 2= k(k+1)( k+ )3 34 2则 22+ 42+ 62+( 2k) 2+2(k+1) 2= k(k+1)( k+ )+2(k+1) 2 8分3 34 2 24 2 144=(k+1)( k +k+4k+4)=(k+1)( k +k+4)=(k+1)(k+2)(k+2)3 33334 2=(k+1)(k+1)+1 (k+1)+ -33所以当n=k+1时等式也成立 10分4 2
11、由知对于任意正整数n等式22 + 42+ 62+( 2n) 2= n(n+1)( n+ )都成立12分3321. (1)证明：T BF 平面 ACE BF AE/ D AB E 是直二面角CB AB CB - 平面 ABE CB - AE CBBF = B AE 平面BCE 3分A(0,_1,0)E (1,0,0)C (0,1,2)则 AE= (1,1,0)AC=(0,2,2) 5分设平面AEC的一个法向量_n_=(x,y,z)则."AE F=0x + y = 0y = x.AC n = 0即.2y +2z = 0z = x令 x=1 得 n(1,-1,1)1又设平面BAC的一个法向
12、量为 m(1,0,0) 7分Cosv m,n > =故二面角B AC E的大小为3arccos3(3) AD / E 轴,AD =2Ad =( 0, 0, 2)d = AD cos ADn =22 3.一 33故点D到ACE之距为3312分22. (1)由已知可得点 A( 6,0),F(4,0)设点 P(x,y),则 AP = (x+6,y ) , FP = (x 4,y),由已知可得2 x362y =120 2(x+6)(x 4)+y =0x= 6.则 2x2+9x 18=0,x= 3 或2由于y>0,只能x=3,于是5.3 yP设点M(m,0),则M到直线 AP的距离是 .2m
13、 +6于是=|6-m|,又6< m< 解得 m=2. 10分2一 3 5&3点P的坐标是(一，)6分2 2(2)直线AP的方程是 x . 3y+6=0. 8分m +6椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有14分B10分22 225 2 49 2d =(x 2) +y =x 4x+4+2 0 x = (x ) +15,992由于一6$w 6,.当x= 9时,d取得最小值152解(1)以0为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所 示的直角坐标系2 2则A (2, 0),设所求椭圆的方程为：+=1(0< b<2),4 b由椭圆的对称性知|Oq=| OEB，由AC BC =
14、0得Ad BC,- | BC=2| AC , | OC= AC , AOd等腰直角三角形， C的坐标为(1, 1),c点在椭圆上- 12 =1, b2=4,所求的椭圆方程为 尤也=14 b2344(2)由于/ PCQ勺平分线垂直 OA(即垂直于x轴)，不妨设直线 PC的斜率为k，则直线 QC勺斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC勺方程为y=-k(x-1)+1, 8分y =k(x -1)1222得：(1+3k)x-6k(k-1) x+3k -6 k-仁0 (*) x2 3y2 _4二02 23k2 _6k _13k2 _6k _1点(1,1)在椭圆上， x=1是方程(*)的一个根，则其另一根为 2一,设(Xp,yp),Qxqyc), XP= 21 +3k21+3k23k2 6k -1同理Xc=1 +3k23k2 -6k -1 3k2 +6k _1kPQ= yp -yQ _k(Xp +Xq) _2k _ k(1 +3k2*1 +3k2)_2kXp XqXp Xq3k 6k 1 3k *6k 11 3k21 3k2- kAB=13存在两点P、Q使/ PCC的平分线垂直AO且PQ平行于ABoXp Xq而由对称性知B(-1,-1),又A (2, 0)1 3k214分12分