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1、数列求和的常用方法1. 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论 .；常用公式：1 2 3 |( n 专n(n 1)，1222|(n2 专 n(n1)(2n1)，13 2333川n3工门2.例1、已知log 3 x ，求x x2 xx 的前n项和.log2 3练一练：等比数列an的前n项和Sn=211 1,贝Va；+ a；+ a；+a； =；2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公 式法求和.1 1 1例2、求数列的前n项和：11,4, - 7, 一nj 3n
2、- 2 ,a aan练一练：求和：Sn =-1 3-5 7(_1)n(2n-1)3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑 选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).2例 3、求 sin21sin2 2 sin 23 si n288 sin2 89 的值练一练：已知 f(x),1 + x2111则 f (1)f(2)f(3) f (4) f(-r f(-)f(-) =；2344. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用 错位相减法(这也是等比数列前 n和公式的推导
3、方法).例 4、求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 九叫2n -1)xnJ例5、求数列2二,刍,；甲，前n项的和.2 2 2 2练一练：设a.为等比数列，二na1(n-1/ 丨丨丨 2ana.，已知=1,T?*，求数列何的首项和公比；求数列Tn的通项公式.；5. 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项 相消法求和.常用裂项形式有：右)十止:盘rH卜占11-2 ' 2 k k -11 1 1(k -1 一 k 1)'1 1 1 1 1k k 1 (k 1)k k2 (k -1)k1 _ 1 .；k -1 k1n(n 1)(n
4、2)1(n 1)(n 2)n(n 1)!1 1n! (n 1)!2(、百一'一询2 ： 2、n 、n 1. n . n 、n _ 1=2(行一 一市).例6、求数列1n . n 1的前n项和.12n2例7、在数列 仙中，an，又bn，求数列bn的前n项的和.n +1 n +1n +1an，an 卅练一练：1 1 1(1) 求和：1x4 4x7(3n _2) x(3n +1)1(2) 在数列an中，an，且 Sn=9,则 n=;+'nrn+16通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8、求 1 111111111 之和.n个 1练一练： 求数列1
5、x 4, 2X 5, 3 x 6,，n (n 3)，前n项和Sn =；111求和：1 -1+2 1+2+31+2+3+山+ n数列求和课后练习、选择题:1.数列an的通项公式为an = (- 1)n-1 (4n 3)，则它的前100项之和S100等于(A. 200B. - 200C . 400 D . - 4002.2nA2n+ 12nB.n+ 1n + 2C.n + 1nD.2n + 13.设 f(n) = 2+ 21111 15. 数列12，34, 7石，(2n- 1) +尹的前n项和Sn的值等于()A.+ 1 2 B. 2n2-n+ 1 2 G+ 1产 D .-n+ 1 -寺+ 27 +
6、 210+ 23n+ 10(n N)，则 f(n)等于(C.7(8n+3- 1)D.7(8n+ 4- 1)A10C. 10二、填空题：7.已知函数f(x)对任意x R，都有f(x)= 1 f(1 x),则f( 2) +f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) =.1234n 8.2+云+云+尹+ £ 2等于11119数列 齐2，22+4，3+6，4+8的前n项和等于.r" 2n(n为奇数)10. 函数 f(n)= 2”，且 an = f(n) + f(n+ 1),贝V d + a2+-+ a1ooo=.n2 (n为偶数)二、解答题：3_*11. 已
7、知数列an的前n项和为Sn，且Snan -1 (n N ).2(I)求数列an的通项公式；(n)在数列bn中，d =5，bn bn -务，求数列0的通项公式.12. 数列an的前n项和为Sn，若ai =2且Sn =Sn 2n ( n _2，nN *).(I )求 Sn ；(II )是否存在等比数列bn满足bi二ai,b2二a3,6二a? ?若存在，则求出数列bn的通项公式；若不存在，则说明理由.13. 已知an是公比为q的等比数列，且ai - 2a3a3.(I)求q的值；(n)设bn是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn.当n-2时，试比较bn与Tn的大小.14. 已知数列an满足以下两个条件： 点(an, an i)在直线y = x 2上， 首项ai是方程3x2 -4x i =0的整数解，(I)求数列an的通项公式；11 + 2+ n的前n项和为(2，宀 n2 n+ 1A7(8 -1)B(8 1)34. 若数列an的前n项和为Sn,且满足S 6n= 3an - 3，则数列an的前n项和Sn等于()A. 3n+1-3B. 3n- 3C. 3n+1 + 3D. 3n+ 3196.数列an=，其前n项之和为190,则n=()