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1、概率论与数理统计习题第五章 大数定律及中心极限定理习题5-1据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi, (1譚< 16,故E ( )=100 , D (Xi)=1002(l=1,2,16)依本章定理f 16f 16Z Xi -1600S Xi 1600< 1920 1600=P<0.8J16 x100716x100400)J(0.8) =0.7 8 8.116P( Xi _1920) =Pi =416 16从而 P( Xi .1920)=
2、1PC Xi 乞1920)=1 -0.7881 =0.2119.i 1i =1习题5-2 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期 望为0.5kg，均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是多少？解设5000X= ' Xii=1,所以由独立同分布中心极限定理知Xi表示第i只零件的重量，贝y E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.01.于是5000只零件的总重量PX>2510P二2500 > 2誉250° .>2)=1-0.921=0.079.75000 x 0.175000 x 0.1习题5-3 有一批建
3、筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m,现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有 30根短于3m的概率是多少？解设100根中有X根短于3m,贝U XB (100, 0.2从而PX 色30=1 PX £30" I100汉°三IJ100X0.2X0.8 丿=1 -(2.5) =1 - 0.9938 =0.0062.习题5-4 (1) 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为 0.10 ,为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率注释：设这100个部件中没有损坏部件数为X ,则X服从二
4、项分布B（100,0.9）,且有EX=np=100x：0.9=90,DX二npq=90 x 0.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EX俯畑沁（存）4亦）故至少须有85个部件工作的概率为:PX >85)俺1 6(=1 (一1.67)=(1.67) =0.9525J9（2）一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成每个部件的可靠性为0.90,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?解：（2）设每个部件为 Xi （i= 1,2,n）1 部件工作X =i 0部件损坏不工作P Xi=1= p=0.9, P Xi=0=1 p=0.1由问
5、题知E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.9 冈=0.09>需八=0.95求n=?80 n 100nT x np80厶人i【ip nnpi 1100n D(Xi)IJP JnD(XJIn、 Xi -0.9ni d=P 0.3、n0.3'. nnoc乞 Xi -0.9n n -0.9n=1 P心-100由中心极限定理知0.3 J n0.35IJ.不 10.1 n 1 不（0.1n Lccu=1 匚空0.95（0.3而丿（0.3你丿查标准正态分布表得0.1n_ ；： ：1.6450.3 J”解得n呈4.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.习题5-5
6、 随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5,方差为0.3,以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P4.9 :： X :：: 5.1；(2)求 P-0.1 ： X -Y : 0.1(1)求 P 4.9< X : 5.1（2）p -0.r：x -Y ：0.1解：由中心极限定理知80' Xi -80 5i _1U mN (0,1)J80X0.380' Yj -80 5j TVN (0,1)J80X0.3(1)P4.9 ：:X : 5.180Z Xi -80X
7、5P 4.9 80 -80 5 .y<8 0.3J80X0.3.5.1 80 -80 5J80 x 0.34#80Z X i 80X5i =1P1.63 ££1.63 £ = 2 (1.63) 1 = 2汉 0.9 48 41 =0.89 6880 80（2）由Xi , Yj的相互独立性知 v Xj与Yj独立。从而U , V独立。i Wj WU VN (0, 2)80 80' X Yji dj =1、24P-0.1 cX -Y V0.1 =P*-0.1 8080 0.380 80二.X i 二 Yj i =ij =i.80 0.3= P_1.63 Z
8、 ：1.63 - G 1.63 一门 一 1.63(1.15) _1W丿I Q丿=2 X0.8749 1=0.7498习题5-6某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差匚2 = 400.为了估计J，随机地取n只这种器件，在时刻t =0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败,测得其寿命为X1,X2,Xn，以Xi作为）的估计.为了使n i aP| X -卜：1 _ 0.95，问n至少为多少?解：由中心极限定理知，当n很大时n二 X i - n 口y忒二门口n©1)2 1二 n cn(r2nX - n 口E2P| X 一口|胡 =Pn20nn/> stJn= 2：1 30.95所以门-0.975查标准正态分布表知-_1.96 20n _ 1536.64即n至少取1537。5