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1、第四章模态参数识别的频域方法§ 4.1引言图4.1-1系统识别的过程:系统识别或系统辨识根据观测到的系统的输入输出数据，建立系统 的一个数学模型，并要求这个数学模型按照一定的准则，尽可能精确地 反映系统的动态特性。特定情况下，只根据系统的输出数据，也能建立 相应的数学模型。系统识别在其他许多学科，如生物学、医学、气象学、经济学、人口学、 生态学、社会学等领域，得到了越来越广泛的应用。最优估计准则：最小二乘估计法、贝叶斯估计法、广义最小二乘估计法、 极大似然估计法、卡尔曼滤波法、辅助变量法和随机逼近法等。其中最小 二乘估计法最基本、最重要。如果系统的数学模型能用一定数量的参数所描述，系
2、统识别便成为参数 识别，又称参数辨识或参数估计。在模态参数识别的频域法中，有最小二乘圆拟合法、非线性加权最小二 乘法、直接偏导数法、Levy法、正交多项式拟合法、分区模态综合法、 频域总体识别法等方法。El©§ 4.2最小二乘法一、最小二乘估计(LSE)(4.2-1)线性时不变系统:y = Z eixi = XY &输i入&© 加，输出y w参数 0 e Rnxii=(4.2-4)观测数据歡)、y(k) , » k 1，2， ，s、理论模型：y= X® ye 肿,Xw «实测模型：刃=文糾+司yeRxeRseR线性回归
3、模型误差矢量5X1(4.2-6)回归系数残差W=y-(4.2-8)定义:总方差（目标函数或评价函数）一角小2>2伙）EWRk=(4.2-9)系统识别的目的是求得一组 &,使可范数最小。(4.2-11)(4.2-12)可证:d2E&的LS估计:(s>n )(4.2-14)二、最小二乘估计与广义逆矩阵的关系当s>n,设戊啲秩为n, X的广义逆矩阵或Moore-Penrose意义下的广义逆矩阵为：因此,码的LS估计:X»+=|厂 XA"17卩 XBH支、-1 -1(5>n)当为非异方阵,最小二乘法失效,另外,当ss设眩、的秩为s,贝皿r为(
4、4.2-29)(4.2-14)(4.2-30)(4227)(4.2-31)三、最小二乘估计与相关函数矩阵或协方差矩阵的关系&RW（424）xY y=%r xo(4.2-32)JL J L(4.2-35)文的相关函数矩阵:1刘与&的相关函数列阵：护=,5、(4.2-36)$&、值为零的平稳随机信 【号，则囲和冯退化为协方差矩 i阵f和协方差列阵斜以上讨论均对实数模型而言，若为复数模型，有关 转置符号“厂应换为转置共轨符号“/T。§4.3单模态识别之一：最小二乘圆拟合法常见的单模态识别有三种方法：直接读数法、最小二乘圆拟合法和差分法。 所谓单模态识别法，是指一次只
5、识别一阶模态的模态参数，所用数据为该 阶模态共振频率附近的频响函数值。待识别的该阶模态称为主导模态，余 模态称为剩余模态，剩余模态的影响可以全部忽略或简化处理。最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用理想导纳圆 去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差最小。一、实模态系统(4.3-1)(4.3-1)结构比例阻尼系统 频响函数模态展式(1.4-83)(4.3-1)式中,（等效刚度）1.不考虑剩余模态的影响理论模型（主导模态）：ioZef ("I(4.3-2)Z帥)=心(1(4.3-5)图4.3-1阻抗线Z伽）=K护）(4.3-6)参数识别:令归马=1原点阻抗实部:Z#
6、 ) = & (1 0；) = kj ntjCD?原点阻抗虚部：Zff二叭=<?i测得爲（畋）、為仙）伙=1,2,s） LSESi = 2為(畋)' k=l5r1s<m：1 X> =k=对称 Y吠_k=.< i鸯g臧 U-=iJ(4.3-7)(4.3-8)(4.3-9)(4.3-11)第i阶模态固有频率:第2阶模态阻尼比：求振型:理论模型（主导模态）(4.3-12)(4.3-13)(4.3-3)(4.3-14)(4.3-16)测得斤个為(cok) ( k= 12,s) LSE(4.3-15)k=( T振型矢量丄_L .丄 lzi/ z芬zj上述参数识别方
7、法又称最小二乘阻抗线识别法。2.考虑剩余模态的影响n %0)=工 /=!0仍kj®% +初山n=zZ=1Keji+ jm(4.3-1)(4.3-19)(x-x0)2 + (y- y0)2 - P2二、复模态系统结构阻尼系统：7 2kmi -加加+ Jgmi(1.5-80)屮艸1mDiCOrni 。爲 + 丿"加(4.3-25)力（劲=亍如一严一=亍 尙 mDi kmi - rnfni + jgfni 台屮ei屮H2 mDia)mi U efl + jVfi - Refii=(4.3-29)待识别模态参数验（含于0仲）、 诚、J、&或%、%、%、险1不考虑剩余模态的影响(4.3-30)H§H= y待识别参数为a、b(4.3-33)x + y + axby = 0测得咼仏）二那阀仏）二 一 lse k -19 2,，s鼻Xap2p4 工耳yk一氓（逬+殒）b对称氓厂顷（琢+炎）(4.3-37)图433不考虑剩余模态时结构阻尼系统的导纳圆2.考虑剩余模态的影响模态参数(4.3-29)（略）§4.4单模态识别之二：差分法