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1、2010-10-311.1 空间几何体的结构Q1 什么叫棱?母线?用自己的语言描述什么是棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、 圆台。做 P9。 1、 21.2 空间几何体的三视图和直视图Q2 区别中心投影和平行投影Q3 三视图的特性。(正视图:自前而后;侧视图:自左而右; 俯视图:自上而下) 做练习 1、画出底边长为 3,母线长为 5 的正三棱锥的三视图 画出右图所示几何体的三视图 .Q4 斜二测画法。画一个边长为 3、3、4的三角形1.3 空间几何体的表面积和体积基本公式:三角形的面积已知三角形底 a,高 h,则 S已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C ,则 S设三角形三边分别为 a、 b、 c
2、,内切圆半径为 r,则三角形面积 = 长方形(体)的周长、面积、体积 :长方形的周长 =长方形的面积 =长方体的体积 = 扇形的弧长和面积:已知扇形的边长为 r,圆心角为 ,弧长 =已知扇形的边长为 r,圆心角为 ,弧长为 l,扇形面积为 = 柱的侧面积、表面积、体积已知棱柱的底面周长为 c,底面面积为 s,母线为 h,直棱柱侧面积 S= 表面积为 S= ,体积为 V= . 斜棱柱侧面积 S=c*h ',已知圆柱的底面半径是 r,母线为 h,圆柱侧面积 S= ,表面积为 S= ,体积为 V= .锥形的侧面积、表面积、体积已知n棱锥的底面周长为 c,底面面积为 s,母线为 l,高为 h,
3、棱锥的侧面积为 ,表面积为 ,体积为 。 已知圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,高为 h,圆锥的侧面积为,表面积为 ,体积为 。 台的侧面积、表面积、体积N 棱台上底面周长为 c ,下底面周长为 c ',上底面面积为 s,上底面面积为 s', 母线长为 l,高为 h,棱台的侧面积为,表面积为 ,体积为 。N 圆台上底面半径为 r,下底面半径为 r',母线长为 l ,高为 h,圆台的侧面积 为 ,表面积为 ,体积为 。 球的表面积和体积球的半径为 R,球的表面积为,体积为 。第二章点、直线、平面之间的位置关系公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的
4、点都在这个 平面内。(作用:判断直线是否在平面内) 符号语言:公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行 直线确定一平面。(作用:它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点 , 那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 符号:平面和相交,交线是 a,记作 a。 符号语言:作用: 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系: 交线必过公共点。 它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
5、 作用:证明两直线平行或直线与平面平行 符号语言:等角定理: 在空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两 角相等或互补。空间点与直线的位置关系 空间点与平面的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系(异面或共面) 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质:既不平行,又不相交。 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店 的直线是异面直线 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别 引直线 a' a,b'b,则把直线 a'和 b'所成的锐角(或直角)叫做异 面直线 a 和 b 所成的角
6、。两条异面直线所成角的范围是( 0°,90° ,若两 条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:根据异面直线的定义;异 面直线的判定定理空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有无数个公共点平面与平面之间的位置关系:三种位置关系的符号表示: a a A a 平行没有公共点; 相交有一条公共直线。 b*2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线与直线平行1平行于同一条直线的两条直线互相平行2 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行 线线平行)3 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面
7、和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行。(线面平行 线线平行)直线与平面平行的判定及其性质1 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 , 则该直线与此平面平行。 线线平行 线面平行2 如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行 线面平行)两个平面平行的判定定理1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行面面平行) ,2 如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行面面平行) ,3 垂直于同一条直线的两个平面平行。*2.3 空间中的垂直问题判断线线垂直1两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是
8、直角,就说这 两条异面直线互相垂直。2如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。判断线面垂直1 线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说 这条直线和这个平面垂直。2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线 垂直这个平面。3 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直 线垂直于另一个平面。判断面面垂直 1平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线 出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就 说这两个平面垂直。2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直。空间角问题(1)直线与直线所
9、成的角 两平行直线所成的角:规定为 0 。两条相交直线所成的角: 两条直线相交其中不大于直角的角, 叫这 两条直线所成的角。两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直 线 a,b 平行的直线 a , b ,形成两条相交直线,这两条相交直线所 成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。(2)直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角: 规定为 0 。 平面的垂线与平面 所成的角:规定为 90 。平面的斜线与平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证, 三计算”。
10、在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点 到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂 线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直 性质易得垂线。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个 面内分 别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角, 那么这两个平面垂直;反过
11、来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点, 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的 射线得到平面角垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时, 过两垂线作平面与两 个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系(1)定义:如图, OBCD D,A,B,C,是单位正方体 .以 A为原点, 分别以 OD,OA, ,OB的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z 轴 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.1)O叫做坐标原点 2 )x 轴,y 轴, z 轴叫做坐标轴 . 3)过每两 个坐标轴的平面叫做坐标面2) 右手表示法: 令右手大拇指、食指和中
12、指相互垂直时,可能形 成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指 指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。3) 任意点坐标表示: 空间一点 M的坐标可以用有序实数组 (x,y,z)来 表示,有序实数组 ( x, y, z) 叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标, 记作M(x,y,z)(x 叫做点 M的横坐标, y 叫做点 M的纵坐标, z 叫做 点 M的竖坐标)4) 空间两点距离坐标公式:1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义 :有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类 :以底面多边形的
13、边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE A'B'C'D'E' 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD'几何特征 :两底面是对应边平行的全等多边形; 侧面、 对角面都是平行四边形; 侧棱平行且 相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥定义 :有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 体分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 :用各顶点字母,如五棱锥 P A'B'C'D 'E'
14、; 几何特征 :侧面、对角面都是三角形; 平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。(3)棱台:定义 :用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 :用各顶点字母,如五棱台 P A'B'C'D 'E' 几何特征 :上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义 :以矩形的一边所在的直线为轴旋转 , 其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征 :底面是全等的圆;母线与轴平行; 轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图 是一个矩形。(5)圆锥:定义 :以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何 体几何特征 :底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:定义: 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征: 上下底面是两个圆; 侧面母线交于原圆锥的顶点; 侧面展开图是一个弓形。(7)球体:定义: 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征: 球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。