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1、领航圆与方程的知识点及题型、圆的方程一）圆的标准方程2 2 2x a y b r 2 ，圆心为（ a， b），半径为 r1、求标准方程的方法关键是求出圆心a,b 和半径 r待定系数：往往已知圆上三点坐标利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件圆心在原点过原点圆心在 x 轴上圆心在 y 轴上圆心在 x 轴上且过原点圆心在 y 轴上且过原点与 x 轴相切与 y 轴相切 与两坐标轴都相切（二）圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 D
2、2 E2221、 Ax2 By2 Cxy Dx Ey F方程形式x22y2a2 b2 a2 b2 00000b0 a2 a 0 a2 a b 04F 00表示圆方程则x2x2AB0AB0C0C0D2E2F40D2E2 4AF 0AAAb22y22b2b2b2(1)当D2E24F(2)当D2E24F(3)当D2E24F0时，方程表示一个点22D 2 E2 4F0时，方程表示一个圆， 其中圆心 C D2, E2 ，半径 r0 时，方程不表示任何图形 .2、求圆的一般方程一般可采用待定系数法或者利用圆的几何性质结合图形分析 3、 D2 E2 4F 0常可用来求有关参数的范围(三)点与圆的关系1、设点
3、到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：a 、点在圆内d<r b 、点在圆上 d=r c 、点在圆外d> r2、 给定点 M(x0,y0)及圆 C :(x a)2 (y b)2 r2.M在圆 C内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2M在圆 C上 (x0 a)2 (y0 b)2 r2M在圆 C外 (x0 a)2 (y0 b)2 r2对应训练(求圆的方程)1、过点 A(1， 1) ， B( 1， 1)且圆心在直线 xy20上的圆的方程是2、若 x2 y2 ( 1)x 2 y0 表示圆，则 的取值范围是3、以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆的方程为4、圆心在直
4、线 yx 上且与 x 轴相切于点 (1，0) 的圆的方程为5、以点 C( 2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是6、求经过 A( 4， 2) ，B( 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程7、求经过点 ( 8， 3) ，并且和直线 x6与 x10都相切的圆的方程8、点 (1，1)在圆 (x a)2 (y a)2 4的内部，则 a 的取值范围是9、过点 A(1,- 1), B(- 1,1)且圆心在直线 x+ y- 2= 0上的圆的方程10、若直线 3x- 4y+12= 0与两坐标轴交点为 A,B,则以线段 AB为直径的圆的方程是11、(2016 年天津高考)已知圆 C的圆
5、心在 x 轴的正半轴上，点 M(0, 5)在圆 C上，且圆心到直线 2x0 的距离为 4 5 ，则圆 C 的方程为5直线与圆的位置关系1、直线 Ax By C0与圆 (x a)2 (y b)2圆心到直线的距离 dAa Bb C22A2 B21）dr直线与圆相离无交点 ；2）dr直线与圆相切只有一个交点 ；3）dr直线与圆相交有两个交点 ；弦长 |AB| =2 r2 d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By C 022x2 y2 Dx Ey F求解，通过解的个0数来判断：（1）当0 时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切；（3）
6、当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2、直线与圆相切（1）常见题型求过定点的切线方程切线条数 点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无 求切线方程的方法及 注意点i）点在圆外如定点 P x0, y0 ，圆：2xay b 2 r2 ， x0 a 2y0 b 2 r2第一步：设切线 l 方程 y y0 k x x0第二步：通过 d r k ，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上千万不要漏了例：过点 P 1,1 作圆 x2y2 4x 6y 12 0 的切线，则切线方程ii ）点在圆上若点 x0，y0 在圆 x2 y2 r2 上，则切线方程为 x0x y0
7、y r2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目 .2 2 2若点 x0，y0 在圆 x a y b r 2 上，则切线方程为x0 a x a y0 b y b r 2碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果。若点 x0，y0 在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 D 2 E2 4F 0 上，则切线方程为x0 xy0 yx0x y0 y D E F 0 0 0 2 2由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判 断点与圆的位置关系，得出切线的条数 .求切线长：利用基本图形， AP 2 CP2 r2 AP CP 2 r2求切点坐标：利用两个关系列出两个方
8、程3、直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理 及勾股定理常用弦长公式： l 1 k2 x1 x21 k2 x1 x24x1x2 （暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）： 直线过定点，而定点恰好在圆内（3）关于点的个数问题例： 1、若圆 x 3 则半径 r 的取值范围222、已知圆 x2 y22y5是 4,直线l2:yr 2 上有且仅有两个点到直线4x2 x3y2 y2 0 的距离为 1 ，4 上恰有 3 个点到x. 答案：4,6时，圆b，当b为直线 l 的距离都等于1。223、已知圆 x y4,直线l:yxb，当b为时，圆2 x2 y4上恰有1 个点
9、到直线 l 的距离都等于1。224、已知圆 xy4,直线l:yxb，当b为时，圆2 x2 y4上恰有2 个点到直线 l 的距离都等于1。225、已知圆 x2 y24, 直线 l :yxb，当b为时，圆 x22 y4 上恰有 4 个点到直线 l 的距离都等于 1 。对应训练（直线与圆的关系）1、以点 （ 3，4）为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是2、若直线 xym0与圆 x2y2m相切，则 m 为3、直线 x y 1与圆 x2 y2 2ay 0 （a 0） 没有公共点，则 a的取值范围是2 2 54、过坐标原点且与圆 x2 y2 4x 2y 0 相切的直线方程为25、直线 l 过点（ 2，0）
10、， l与圆 x2 y2 2x 有两个交点时，斜率 k的取值范围是226、设直线 ax y 3 0与圆 （x 1）2 （y 2）2 4相交于 A、B两点，且弦 AB 的长为2 3 ，则 a .7、设圆 x2 y24x5 0的弦 AB的中点为 P（ 3， 1） ，则直线 AB的方程是8、求过点 P（ 6， 4）且被圆 x2 y2 20截得长为 6 2 的弦所在的直线方程9、（2016全国高考新课标 卷·文数 6）圆 x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a10、（ 2016全国高考新课标卷· 文数 15T）设直线 y x 2a与圆 C
11、:x2 y2 2ay 2 0 相交于 A, B两点，若 | AB | 2 3 ，则圆 C的面积为11、（2016 全国高考新课标 卷·文数 15T）已知直线 l ： x3y 6 0与圆 x2 y2 12交于 A, B两点，过 A,B分别作 l的垂线与 x轴交于 C,D 两点，则 |CD | 12 、（ 2016 全国高考新课标 卷·理数 16T ）已知直线 l ： mx y 3m 3 0 与圆 x2 y2 12交于A,B两点，过A, B分别做l的垂线与 x轴交于 C,D两点，若AB 2 3， 则 |CD | .13、（ 2016 年北京高考）圆（ x+1 ） 2+y2=2
12、的圆心到直线 y=x+3 的距离为14、已知圆 M :x2 （y 2）2 1 ,Q是x轴上的动点 , QA、QB分别切圆 M于 A，B两点（1）若点 Q的坐标为（ 1,0 ），求切线 QA、 QB的方程（2）求四边形 QAMB 的面积的最小值；42（3）若 AB ，求直线 MQ 的方程 .3三、对称问题2 2 21、若圆 x2 y2 m2 1 x 2my m 0 ，关于直线 x y 1 0，则实数 m的值为 .222、已知点 A是圆 C:x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点， A点关于直线 x 2y 1 0的 对称点在圆 C 上，则实数 a .3、圆 x 1 2y321关于直线x y 0对
13、称的曲线方程是 .4、已知圆 C1 ：x242y 2 2221与圆 C2： x 2 2 y 4 2 1关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为25、圆 x 3y121关于点2,3 对称的曲线方程是 .6、圆 x2+y2+x6y+3=0 上两点 P、 Q关于直线 kx y+4=0 对称，则 k=.7、设 O 为坐标原点，曲线 x2+y2+2x 6y+1=0 上有两点 P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对 称，又满足 OPOQ，则 m 的值 ，直线 PQ 的方程四、最值问题方法主要有三种： （1）数形结合； （2）代换；（3）参数方程1、已知实数 x， y满足方程 x2 y2 4x 1 0，
14、求：（1）y 的最大值和最小值为x5（ 2） y x 的最小值为（3） x2 y2 的最大值和最小值分别为2、圆 x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差 是2 2 2 23、已知 A（ 2,0），B（2,0），点 P在圆（x 3）2 （y 4）2 4上运动，则 PA PB 的 最小值是 .4、设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点 P 到直线 3x4y 10=0 的距离的最小值为 5、若点 P在直线 2x 3y 10 0上,直线 PA,PB分别切圆 x2 y2 4于 A,B两点,则四 边形 PAOB 面积的最小值为6、动 点 P在直线 2
15、x+y=0 上运动，过 P作圆（x-3 ）2+（y-4 ）2=4 的切线，切点 为 Q， 则 |PQ| 的 最 小 值 为7、已知点 B（2,3 ），圆 C：（ x-3 ）2+（y-4 ）2=9，若 点 A是 圆 C上 一动点，点 P是 x轴上的一 动点， 则|PA|+|PB| 的最小 值是 .8、若直线 mx 2ny 4 0（m，n R），始终平分圆 x2 y2 4x 2y 4 0 的周长， 则 m n 的最大值是 .9、【 2014 年江西卷（理 09）】在平面直角坐标系中， A, B分别是 x轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x y 40 相切，则圆 C 面积的
16、最小值为五、圆的参数方程x2 y2 r 2 r 0x r cos y r sin为参数x a 2 y b 2 r 2 r 0x a r cos y b rsin为参数六、圆与圆的位置关系1、判断方法：几何法（ d 为圆心距）1) d r1 r2 外离2) d r1 r2 外切（3） r1r2dr1r2相交（4） dr1r2内切（5） d r1 r2内含2、两圆公共弦所在直线方程2 2 2 2 圆 C1： x y D1x E1y F1 0 ，圆 C2 ： x y D2x E2y F2 0 ，则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两相交圆公共弦方程 .补充说明：若 C1 与 C2
17、相切，则表示其中一条公切线方程； 若 C1与 C2相离，则表示连心线的中垂线方程3、圆系问题222F1 0和 C2： x2 yD2xE2yF2 0 交点的22x y D2xE2yF20（1）1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（1）过两圆 C1 ：x2 y2 D1x E1y 圆系方程为 x2 y2 D1x E1y F1 说明： 上述圆系不包括 C2 ；当0交点的圆系方程为2）过直线 Ax By C 0与圆 x2 y2 Dx Ey Fx2 y2 Dx Ey F Ax By C 0（3）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相 离时，有四条公
18、切线对应训练（圆与圆的位置关系）1、两个圆 C1：x2y22x2y20与 C2：x2y24x2y10的位置关系为 2、圆 x2y22x50 与圆 x2y22x4y40的交点为 A， B，则线段 AB 的垂直平分 线的方程是3、圆 x2y22x0 和圆 x2y24y0 的公切线有且仅有条4、两圆 x2y21和（x4）2（ya）225 相切，试确定常数 a的值2 2 2 25、两圆 x2+y24x+6y=0 和 x2+y2 6x=0 的连心线方程为2 2 2 26、求经过两圆 x2 y2 6x 4 0和 x2 y2 6y 28 0 的交点，并且圆心在直线x y 4 0 上的圆的方程为7、求半径为
19、4，与圆 x2y24x2y4=0相切且和直线 y=0 相切的圆的方程七、轨迹方程（1）定义法（圆的定义） ：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式轨迹方程 .（3）相关点法（平移转换法） ：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动对应训练（求动点的轨迹方程）1、过圆 x2 y2 1外一点 A 2, 0 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程222、如图，已知定点 A 2,0 ，点Q是圆 x2 y2 1上的动点， AOQ的平分线交 AQ于M ，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M
20、的轨迹方程223、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（ 4，3），端点 A在圆 （x 1）2 y2 4 上运动，求线 段 AB 的中点 M 的轨迹方程。八、综合题1、2014 全·国新课标卷 已知点 P（2， 2），圆 C：x2y28y0，过点 P的动直线 l 与圆 C交于 A， B两点，线段 AB的中点为 M，O 为坐标原点（1） 求 M 的轨迹方程；（2）当 |OP| |OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积2 、【 2015 高考广东，文 20】（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线 l 与圆22C1 : x2 y2 6x 5 0 相交于不同的两点 ， （1）求圆 C1 的圆心坐标；（2）求线段的中点 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线 L: y k x 4 与曲线 C 只有一个交点？若存在， 求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由