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1、七年级数学培优讲义（ 2）、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念： 文字概念：若一个数 x 的平方是 a，那 么 x是 a的平方根； 符号概念：若 x2 a，那么 xa ；逆向理解：若 x是 a的平方a。根，那么 x2（2）性质：在平方根、算术平方根中，被开方数 在算术平方根中，其结果 计算中的性质1： ( a)2计算中的性质2： a2a0 a 是非负数，即 a ( a 0)； a(a 0)a(a 0) ；式子有意义；a 0；3 a3 a在立方根中，计算中的性质3）实数的分类：3 a 3 a （符号法则） 3： （
2、3 a）3 a ；有理数二分法） 实数正有理数 零 负无理数三分法）实数无理数正无理数负无理数正实数负实数正有理数正无理数负有理数负无理数（二）【典例分析】b 1a 8 是 a 8的算术数平方根，2a b 4b 3是b 3立方根， 求1、利用概念解题：例 1. 已知： MN 的平方根。练习： 1. 已知 x 2y 3，3 4x 3y 2 ，求 x y的算术平方根与立方根。2若 2a 1的平方根为 ±3，ab5 的平方根为 ±2，求 a+3b的算术平方根。例 2、解方程（ x+1） 2=36.1练习：（1） （x 1）2 9（2） （x 1）3 2552、利用性质解题：例1
3、已知一个数的平方根是 2a1和a11，求这个数变式： 已知 2a1和 a11是一个数的平方根，则这个数是 若 2m4与 3m 1是同一个数两个平方根，则 m为 例 2若 y= 3 x x 3 1，求（ xy）x 的值例 3x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。1 2x例 4已知 3 1 2x 与 3 3y 2 互为相反数，求的值 .y练习： 1. 若一个正数 a的两个平方根分别为 x 1和x 3，求 a 2005的值。2. 若（x3）2 y 1=0，求 xy 的平方根；3. 已知 y 1 2x 4x 2 2,求 xy 的值.4. 当 x 满足下列条件时，求 x 的范围。 （2 x）2 =x
4、 2 3 x = x 3 x =x5. 若 3 a 3 7 ，则 a 的值是83、利用取值范围解题：例 1. 已知有理数 a 满足 2004 a a 2005 a ，求 a 20042 的值。3、利用估算比较大小、计算： 估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分 的取值范围，再进行比较。例 1比较 13-3 与 1 的大小87说明：比较大小的常用方法还有：差值比较法：如：比较 1 2 与 1 3 的大小。解 （ 1 2 ）（ 1 3 ） = 3 2 > 0 ， 1 2 > 1 3 。 商值比较法 （适用于两个正数） 如：比较 3-1 与
5、 1 的大小。55解： 3-1÷1= 3-1<1 3-1< 15 5 5 5 倒数法： 倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出 a 与 b 的倒数，再11根据当 1 > 1 时， a< b。来比较 a 与 b 的大小。（以后介绍） ab 取特值验证法： 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如：当0<x<1时， x2，x， 1的大小顺序是 x解：（特殊值法）取 x= 1，则：2x2=1， 1=2。 1< 1<2，4 x 4 2 x2< x< 1。x例 2若 3 5 的小数部分是 a，3- 5 的小数部分是
6、 b，求 a+b 的值。例 3. 计算： 6 ( 1 - 6 )6 3- 2 3-2 - 2-1练习： 1.估计 10 1 的值是（A）在 2和 3之间 （B）在 3和 4之间 （C）在 4和 5 之间D）在 5和 6之间2比较大小：5 -121；312.1(填“ >”、“ <”)4、利用数形结合解题：例 1 实数 a、 b 在数轴上的位置如图所示，那么化简 |a+b|+ （b a）2 的结果是（ ）A 、 2bB、 2aC、2aD、 2ba 0 b例 2 如图，数轴上表示 1、 2 的对应点为 A 、B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数是（ ）A 、 2
7、1B、1 2C、 2 2 D、 2 2 （三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根： 由 -3 是 9 的平方根得： 9 =-3 。由 81 的平方根是± 9 得 81=± 9 - 5是 5的平方根的相反数2、混淆文字表示和符号表示： 16 的算术平方根是 4 ； 64 的立方根是 43、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清： 6是 6的平方根； 6的平方根是 6； 6与 6互为相反数； a 的算术平方根是 a （2）无理数的概念不清：开方开不尽的数是无理数； 无理数就是开方开不尽的数；无理数是无限小数； 无限小数是无理数；无理数包括正无理数、零、负无理
8、数；两个无理数的和还是 无理数；两个无理数的积还是无理数；填空：在 -1.414， 2， 3.14，2+ 3 ，3.212212221， 22， 3 ，0.303003.这些 72数中，无理数的个数有 个； ( 13)2 =144、计算错误：15 290若 x2=16，则 x= 16=4.5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）x1若代数式 x 1 有意义，则 x 的取值范围是 x 1且x 2x2若代数式 x 1 有意义，则 x 的取值范围是 x 2x26、公式用错： （-6）26； （3.14 - ）2 =3.14-；若 c满足 （c 3）2（c 3） ，则 c=-3（四）【巩固练习】1 .
9、3 64的平方根（）A. 8B. 8C.D.2A. 0.0625 B. 0.53下列说法中正确的是（C. 0.5D . ± 0.5456789A. 81 的平方根是 ±3若 a2 a ，则实数B.1的立方根是 ±1C. 1 =±1a 在数轴上的对应点一定在（A 原点左侧B原点右侧C原点或原点左侧若 a =3.136 ，则100 =(A 、 0.03136B、0.3136数 a、b 在数轴上的位置如图，Bb DA 2a b C b 列说法正确的是（A. 0.25 是 0.5 的一个平方根 C . 7 2 的平方根是 7A.C、±0.03136D
10、、那么化简2a)baD.- 5是 5的平方根的相反数±0.3136D原点或原点右侧a2 的结果是（0aB . 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于 D.（a 3）2 a-3，则 a 的取值范围是a > 3 B. a 3C. a < 3a、负数有一个平方根( ).D.a 3b 为实数，且满足 a 2+ b2B 0若A210. 在 22 ，3.1415926， 7 ， 32 ，7A1个B2 个=0，则C2b a 的值为（）D以上都不对36 ， 0.1&这 6 个数中，无理数有（C 3 个D 4 个11若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 12若 2b1
11、5和3 a 1都是 5的立方根，则 34a 3b=13观察下列各式：1 13213,214314,351415 ， 根据你发现的规律，若式子a1a、 b为正整数）符合以上规律，则a b 14由下列等式： 3272 23 72，33 26 ，34643 43 643所揭示的规律，可得（用字母 n 表示， n 是正整数且 n>1）。 5112 2 16一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变为原来的变为原来的 n 倍，则棱长变为原来的 倍。出一般的结论是15比较下列实数的大小：1400.5；倍；一个立方体的体积17计算： 14 6 2 2 1 3 618已知一个 2a-1 的立方根是 的平
12、方根。3，3a+b+5的平方根是± 7，c是 13 的整数部分，求a2b c 219已知 a、b 满足 2a 8 b 30，解关于 x 的方程 a22 x b2a120若 a 5 ， b2 7 ， ab b a ，求 a+b 的值21. 设 2+ 6 的整数部分和小数部分分别是x、y，求（ x-1） 2+（ y6 +8）2 的平方根。22已知点 A、B 在数轴上对应的数分别是a、b，且 a、b 满足 b a 1 2 2 2a 5 ，点 C 是数轴上不同于 A 、 B 的一动点，其对应的数为 c。1）若 C 运动到使 AB=BC 时，求点 C 所对应的数；2)若 c满足(c3)2(c3) ，试化简：c2(a c)2 (bc)23c3