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1、第二讲证明不等式的基本方法一.比较法,一.自主预习(教材21页-23页):(1)比较法的定义(2)比较法可分为作差比较法和作商比较法两种,这两种方法的理论依据是什么？,(1)作差比较法:要证明ab,只要证明_;要证明ab,只要证明_.这种证明不等式的方法,叫做作差比较法.,a-b0,a-b0,(2)作商比较法:若a0,b0,要证明ab,只要证明_;要证明ab,只要证明_.这种证明不等式的方法,叫做作商比较法.,二.课堂练习：1.已知a+b0,bb-b-aB.a-b-abC.a-bb-a D.ab-a-b,解析:选C.由a+b0,b-b0,0b-a于是a-bb-a.,2.若aR,则a2+1与2a
2、的大小关系是_.,解析:因为aR,所以a2+1-2a=(a-1)2 0,即a2+1 2a.答案:a2+1 2a,三.比较法证明不等式1.作差比较法的依据，步骤，主要适用类型是什么?,（1）依据：若a,bR,则a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab.,（2）步骤：作差变形（变成因式相乘相除的形式）判断符号(与0比较大小)下结论.,（3）适用范围：具有多项式结构特征的不等式的证明.,2.作商比较法的依据，步骤，主要适用类型是什么?,三.比较法证明不等式：,（1）依据：若a0,b0,则 1ab; =1a=b; 1ab.,（2）步骤:作商变形(化简)判断商值与1的大小关系下结论.,（3）适用范围
3、：作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.,例1.已知a,b都是正数，且a b,求证:,四.典型例题：,分析:作差，变形化为几个因式相乘,然后与0比较大小,下结论.,证明：,作差比较法证明不等式方法技巧小结：,(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.,(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号(是正还是负),而不用考虑差能否化简或值是多少.,(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式.,例2.如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，若
4、在上述溶液中再添加m kg白糖，糖水变甜了，原因是什么？将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.,分析：糖水的溶质质量分数发生了怎样的变化，由原来的 变成了 ，（其中ba0,m0）注意字母的范围.证明,例2.已知ba0,m0，证明：,证明：,变式1.（1）已知ab,求证: （2）已知ad bc,求证:,（教材23页习题2.1（1,2题）,例3.设a0,b0,求证:aabb,分析：由指数函数的性质可知a,b满足什么条件时ab1?（若01;若a1,则b0时,ab1）,【证明】因为aabb0, 0,所以,所以当a=b时,显然有,=1,当ab0时,当ba0时,由指数函数的单调性,有,综上可知,对任意a0
5、,b0,都有aabb,作商比较法证明不等式方法技巧：(1)作商:将不等式左右两边（均为正数）的式子进行作商.(2)变形:化简商式到最简形式.(3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论.,证明:由abc0,得ab+cbc+aca+b0,a2ab2bc2c0.所证不等式左边除以右边,得 =aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=,变式2.已知abc0”,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.,分析：两边均为正值,可用作商比较法,因为ab0,所以 1,a-b0,所以 1.同理 1, 1.所以 1,所以a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.,五.本节小结：,1.作差比较法的依据，步骤，主要适用类型.2.作商比较法的依据，步骤，主要适用类型.3.两种比较法的难点是变形.,六.作业：教材23页习题2.1（3,4题）,