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1、仅供个人参考For pers onal use only in study and research; not for commercial use4.2平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理：三条所得的线段的比女吓图，如果h / l2 / I3，则匹AC2. 平行线分线段成比例定理的推论：.截两条直线,ABDEAB DEAC 一 DFEF-DF平行于三角形一边的直线截其他两边AD AE.如图，在三角形中，如果 DE / BC，则二AB AC3.平行的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）AD AE 于三角形的第三边。如上图，如果有
2、AB线段的比条直线（或两边延长线），所得的_ DE"BC，所得的对应线段成比例，那么这DE ，那么AC BCDE / BC。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例11如图,DE / BC，且 DB 二 AE,若 AB =5, AC =10,求AE的长。【例21如图,已知 AB / /EF / /CD，若 AB 二a , CD 二 b , EF=c，求证:1 1 1 =十一 cabAB _ BD , CD _BD，垂足分别为1BD相交于点E , EF_BD，垂足为F.证明：AB【巩固1如图,1CDD , AC 和_ 1 EF .【巩固1如图，找出S.ABD、S be
3、d > S.BCD之间的关系，并证明你的结论【例31如图，在梯形ABCD中，AB / CD , AB =12 , CD =9，过对角线交点 O作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F，求 EF 的长。【巩固1 （上海市数学竞赛题） 如图，在梯形ABCD中，AD / BC , AD =a , BC =b, 的中点， AF交BE于P , CE交DF于Q，求PQ的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题1（1）如图（1），在 ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且 AE AB4连接EM并延长，交BC的延长线于D，则匹CD3 , BD : DC =2:1 , AD与 CE 相交:
4、3 D.22E为AC边上的任意一点，BE交AE 1 1A（2）当竺=丄、丄时，求-AC 3 4A（2）如图（2）,已知EF AF则 的值为（FC FD例4、如图，在（1 ）当经ACABC 中,)A.（3）试猜想F分别是AD , BCE ,AE : EB =1:5 B.1 C.2BC边的中点,D为也的值；AD时也的值，并证明你的猜想ABC中,AE【例41如图，不得用于商业用途AC n 1 ADAD是 ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC-nCA厂【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图,AD =3, BC =9 , AB =6, CD = 4，若 等，求EF的长。【例11】（山东省竞赛题
5、）如图，AD仅供个人参考（1）如果E是AD的中点，求证：AF 1 .;FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，人卩二1 AE成立，若e是ad上任意一点（E与A、D不重合），FC 2 ED上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知 ，ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且 BE =AC，延长BE交AC于F。求证：AF二EF。【例5】（宁德市中考题）如图，ABC中，D为BC边的中点，延长 AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD =2DE，求证：AP =3AB。【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，UBC中，若Di
6、，Ei分别是AB，AC的中点，贝U D1E1；1 fa 3若D2、E2分别是DiB、EiC的中点，贝U D2E2a a ；2 241也 7若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，贝U D3E3a a a ;2討 .丿8若Dn、En分别是Dn-1BEn-iC的中点，贝U DnE 专题三、利用平行线转化比例【例6】如图，在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点0 ,直线l平行于BD，且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P.求证：PM PN =PR PS【巩固】已知，如图，四边形 ABCD，两组对边延长后交于 E、F ,对角线BD IIAC的延长线交EF于G .求
7、证：EG二GF .【例7】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：竺=1DC EB【例8】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中 线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM 5:3:2【例9】如图，M、N为.：ABC边BC上的两点，且满足 BM =MN =NC，条 平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF =3DE .【例10】 已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分别连 接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E , DB与MC交
8、于F .（1）求证：EF / /CD（2）若 AB 二a, CD 二b，求 EF 的长.在梯形 ABCD 中，AD I BC ,EF I BC，且梯形 AEFD与梯形EBCF的周长相L ABCD的对角线相交于点 0，在AB的延长线上任取一点 E，连接OE交BC于点F，若AB二a , AD =c, BE =b ,求BF的值。【例12】已知等腰直角：ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE二CD，过e、D分别作AE的垂线，交斜边 AB于L , K .求证：BL =LK .家庭作业CBAL DKE【习题1】 如已知DE II AB , OA2 =0C OE，求证：AD I BC .仅供个
9、人参考【习题2】 在 ABC中，BD二CE , DE的延长线交BC的延长线于P ,求证：AD BP =AE CP .【习题3】 如图，在.ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD二AE，直线DE和BC的延长线相交于 P，求证:BP BDCP CE不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 b3OBBa KiCMMepqecKuxqe 员 ex.以下无正文