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1、本章简介（1/1）Ch.6线性系统综合本章简介本章章讨论线性系统的系统综合问题。主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中的应用,主要内容为/状态反馈与极点配置、 /系统镇定、/系统解耦、/状态观测器，/以及带观测器的状态反馈闭环系统。翳鑼黔脚瞒及<>目录（1/1）61状态反馈与输出反馈 6.2反馈控制与极点配置 63系统镇定 6.4系统解耦 6.5状态观测器 6.6带状态观测器的闭环控制系统 67 Matlab问题本章小结V >概述(3/12)概述系统综合是系统分析的逆问题。系统分析问题即为对已知系统结构和参数，以及确定好 系统的外部输入（系统激励）下，对系统运动进行定性分
2、析/如能控性、能观性、稳定性等和定量运动规律分析/如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。的探讨。而系统综合问题为已知系统系统结构和参数，以及所期 望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征，所需要确定的是则需要施加于系统的外部输入 的大小或规律。> 一般情况下,控制理论发展与控制系统设计的追求目标 为解析的反馈控制作用规律（反馈控制律）。/对复杂的动力学被控系统，在解析反馈控制规律难于 求解的情形下，需要求系统的数值反馈控制规律或外 部输入函数的数值解序列（开环控制输入）O系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统运 动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数，然后据此
3、确 定控制规律。>综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能 指标,/两者差别在于:优化性能指标是一类极值型指标,综合的目的是 使该性能指标函数取极小（极大）；而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约 束的性能指标凸空间，一般只要求解的控制规律 对应的性能指标到达该凸空间即可。对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论求解 控制规律；/而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制 规律，如极点配置方法。概述(5/12)概述(7/12)对于非优化型性能指标,按照对闭环系统期望的运动形式从 不同的角度去规定性能，可以有多种提法和形式。常用的非优化型性能指标提法有以下几种。/以系统渐近
4、稳定作为性能指标,相应的综合问题为镇 定问题。/以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域 （空间）为性能指标湘应的综合问题为极点配置问题。对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品 质指标（如过渡过程的快速性、超调量、周期 性）,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所 决定的。因此，在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于£平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的期望极点上，可以有效地改善系统的 性能品质指标。/将一个MIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控 制一个输出的系统综合问题称为系统解耦问题。系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。/以使系统的输出W)无静差地跟踪一个外部
5、信号Xo(f) 作为性能指标，相应得综合问题称为跟踪问题。<优化型性能指标一般定义为关于状态址）和输入“的积分型性能指标函数或关于末态r ©）的末值型性能指标函数。而综合的任务，就是要确定使性能指标函数取极值的控制 规律，即最优控制律。相应地性能指标函数值则称为最优性能。概述(#/12)系统综合问题，无论是对优化型还是非优化型性能指标函数， 首先存在2个主要问题。> 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律 存在条件。/显然，只有对可综合的问题，控制命题才成立，才有必 要去求解控制规律。/对不可综合的问题,可以考虑修正性能指标函数，或 改变被控系统的机理、结构或
6、参数，以使系统可综合 条件成立。另一个是如何求解控制规律，即构造求解控制律的解析求 解方法或计算机数值算法。“利用这些算法，对满足可综合条件的系统，可确定控制规律，如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。/以现代技术的观点，这些方法应方便地使用计算机实现，其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定性，减弱。即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不断放 大、传播，还是被抑制在一个小的范围，其影响逐渐概述(11/12)在综合问题中，不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如：状态获取问题对状态反馈控制系统，要实现已求解的状态反馈规律，需 要获取被控系统的状态信息
7、，以构成反馈。但对许多实际系统，所考虑的状态变量是描述系统内部信 息的一组变量，可能并不完全能直接测量或以经济的方式 测量。这就需要基于状态观测理论，根据系统模型，利用直接测 量到的输入轴由信息来构造金童箱获态变量猪息。相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题。建模误差和参数摄动问题对系统综合问题，首先需建立一个描述系统动力学特性的 数学模型。/并且，系统分析与综合都是建立在模型基础上的。正如在第2章概述中指出的，系统模型是理想与现实，精确描述与简化描述的折中,任何模型都会有建模误差。此外，由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性，系 统的动力学特性会产生缓慢变化。/这种变化在一定程度上可
8、视为系统模型的参数摄动。<概述(15/12)/这样，基于理想模型综合得到的控制器，运用于实际系 统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差和参 数摄动是否具有良好的抗干扰性（不敏感性），是否使 系统保持稳定，是否使系统达到或接近预期的性能指 标成为控制系统实现的关键问题。该问题称为系统鲁棒性问题。基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。<下面,本章将就这些系统综合的主要问题，如 极点配置、A镇定、A解耦与观测器问题，基于状态反馈理论作细致讨论。<状态反馈与输出反馈(3/3)61状态反馈与输出反馈控制理论最基本的任务是，对给定的被控系统设计能满足所 期望的性能指标的闭
9、环控制系统,即寻找反馈控制律。状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈 策略，其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以 构成反馈律，实现对系统的闭环控制，以达到期望的对系 统的性能指标要求。在经典控制理论中，一般只考虑由系统的输出变量来构成 反馈律，即轴出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中，多考虑釆用状态 变量来构成反馈律,即状态反馈。之所以采用状态变量来构成反馈律，是因为状态空间分析中所采用的模型为状态空间模型，其状态变量可完全描述 系统内部动态特性。由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出 变量提供的信息更丰富、更全面，/因此，若用状态来构成反馈控制律，与用输出反
10、馈构 成的反馈控制律相比，则设计反馈律有更大的可选择 的范围，而闭环系统能达到更佳的性能。另一方面,从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈 可视为状态反馈的一个特例。/因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。本节讨论的主要问题:基本概念:状态反馈、输出反馈基本性质:反馈闭环系统的$总控性/能观性本节的讲授顺序为:状态反馈的描述式闭环系统的状态能控性和能观性厂输出反馈的描述式由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同 性，因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。<>状态反馈的描述式(1/3)6.1.1状态反馈的描述式对
11、线性定常连续系统若取系统的状态变量来构成 反馈，则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。状态反馈闭环系统的系统结构可如图61所示+开环系统1图6-1状态反馈系统的结构图状态反馈的描述式（2/3）厂Vu=:Kx+y z状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下：设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别疽为x' - Ax + Bu y = Cx u = -Kx + v其中Kjrxn维的实矩阵，称为状态反馈矩阵;v为/维的输入向 量，亦称为伺服输入。将状态反馈律代入开环系统方程，则可得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型:xf = (A - BK)x + Bv y = Cx<1状态反馈的
12、描述式(3/3)状态反馈闭环系统可简记为屈C)，其传递函数阵 另：输出反馈的描述式（3/3）6丄2输出反馈的描述式对线性定常连续系统10,C),若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。输出反馈控制系统的结构图如图62所忝。图62输出反馈系统的结构图输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下：开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为将输出反馈律代入开环系统方程,则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型:xr = (A - BHC)x + Bv y = Cx<1>输出反馈的描述式(#/3)输出反馈闭环系统可简记为乙BfiTC/Q,其传递函数 阵为：Gh
13、(s)=C(sI-ABHC)aB由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知，输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。因此，在进行系统分析时，输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。°反之，则不然。./由此也可知，状态反馈可以达到比输角反馈更好的控 制品质，更佳的性能。闭环系统的状态能控性（1/1）6.1.3闭环系统的状态能控性和能观性对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统，其状态能控/能观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。下面分别讨论两种闭环系统的/状态能控性/状态能观性L闭环系统的状态能控性由状态能控性模态判据（定理33），被控系统工（A0，C）采用状态 反
14、馈后的闭环系统Yk（A*K0,C）的能控性可由条件rankA,I-A+BK B=n 0九来判定，而m+BKB=rB 1°=rA/-A5K I上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例，故输出反馈亦不改变系统的状态能控性。<1>闭环系统的状态能观性(1/7)2.闭环系统的状态能观性对被控系统(A0,C)有如下结论:采用输出反馈构成的闭环系统易(AJHC/Q后状态能 观性不变，即/输出反馈不改变状态能观性。根据对偶性原理和输出反馈不改变状态能控性的结论，可对上 述结论证明如下：闭环系统的状态能观性(#/7)闭环系统的状态能观性(3/
15、7)证明过程图解输出反馈闭环系统的状态能观性对偶系统:异疋-cthtbcbt)的状态能控性I r1 i!IIi1i1i1需证明 的结论经输出反馈2尹工(A0，C)的状态能观性对偶原理M，c“)的状态能控性闭环系统的状态能观性(5/7)证明过程：输出反馈闭环系统工h(ABHC,B,C)的状态能观性等价于其对偶系统工刃(A好,0疔)的状态能控性；而该对偶系统可以视为是系统工Q,少)经输出反馈阵 为H带成的闭环反馈系统；/由于输出反馈不改变系统的能控性，因此闭环系统 h(A-BHC,BQ的状态能观性等价于系统("QM) 的状态能控性；又由对偶性原理有，系统力(加,。,沪)的状态能控性等价于
16、 其对偶系统工(A AC)的状态能观性。/因此,证明得闭环系统为h(A-BHC,B,C)的状态能观性 等价于系统工(4 0,C)的状态能观性。故输出反馈不改变状态能观性。对于采用状态反馈构成的闭环控制系统工状态反 馈可能改变状态能观性。该结论可先由下面的例子来说明，在后述的极点配置部分 再详细讨论。例64设线性定常系统的状态空间模型为1 2'0X +3 11uX12 x并设状态反馈阵血3 1和输出反馈试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统 的状态能控/能观性。211rank B AB = rank解1:因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别 为C 1_12=rankCA
17、74rank=2 = H所以开环系统为状态能控又能观的O2.经状态反馈u=-Kx+v后的闭环系统的状态方程为xf = (A - BK )x + Bv12_0_X +V001其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为闭环系统的状态能观性(7/7)C1'I 2rank=rankC(A - BK)1 2rank B (A - BK )B J = rank11 < n所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的，即状态反馈可能 改变系统的状态能观性。3.经输出反馈u=-Hy+v后的闭环系统的状态方程为xf = (A - BHC)x + Bv1 -3其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为rank B (A - BHC)B J = rank_o12 '3=2 = nc-12 _rank=rank=2 = nC(A- BHC)3-4所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的O<1>