不等式的证明及著名不等式.docx

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1、学习必备欢迎下载不等式的证明及著名不等式要点梳理：1 基本不等式(1) 定理：如果 a， b R，那么 a2b22ab，当且仅当 a b 时，等号成立a b(2) 定理 ( 基本不等式 )：如果 a，b>0，那么 2 _ ab，当且仅当 _时，等号成立也可以表述为：两个 _的算术平均 _ 它们的几何平均(3) 利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，如果它们的和S 是定值，则当且仅当_时，它们的积P 取得最 _值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当_时，它们的和S 取得最 _值2 三个正数的算术 几何平均不等式(1) 定理 如果 a， b， c 均为正数，那么a b c33_abc，当

2、且仅当 _时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2) 基本不等式的推广对于 n 个正数a1， a2， an ，它们的算术平均_ 它们的几何平均，即a1 a2 annn_a1a2 an，当且仅当 _时，等号成立3 柯西不等式(1) 设 a， b， c， d 均为实数，则 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，当且仅当 ad bc 时等号成立(2) 设 a1，a2，a3， an， b1， b2， b3， bn 是实数，则 (a21 a22 a2n)( b21 b22 b2n) (a1b1 a2b2 an bn )2，当且仅当 bi 0(i 1,2， n)或存在一个数k，使得

3、aikbi(i 1,2， n) 时，等号成立(3) 柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则 |·| |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k时，等号成立4证明不等式的方法(1) 比较法：求差比较法知道 a>b? a b>0， a<b? a b<0，因此要证明a>b，只要证明 _ 即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 a>b>0? a>1 且 a>0， b>0，因此当 a>0， b>0 时要证明 a>b，只要证明 _即可，这种方法称 b学习必备欢迎下载为求商比较法(2) 分析法从待证不等式出发

4、，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 (已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3) 综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4) 反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式 _的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5) 放缩法所谓放缩法， 即要把所证不等式的一边适当地_ ，以利于化简， 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6) 数学归纳法设 Pn

5、 是一个与自然数相关的命题集合，如果： (1) 证明起始命题 P1(或 P0)成立； (2)在假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk1 也成立，那么可以断定 Pn 对一切自然数成立111已知 a<0 ， b<0 ，且 a2>b2，则 a，b 的大小关系为 _aam2已知 a、 b、 m 均为正数，且a<b， M b，N bm，则 M、 N 的大小关系是 _3设 a32，b65， c76，则 a，b， c 的大小关系为_14已知 a>0 ， b>0 ，则 Plg(1 ab)， Q 2lg(1 a) lg(1 b) 的大小关系为 _5设 a、 b、 c 是正实数，

6、且222的最小值为 _.a b c9，则 a bc题型一柯西不等式的应用例 1已知 3x2 2y2 6，求证： 2xy11.学习必备欢迎下载思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，22222二维形式的柯西不等式 (a b)(c d) (ac bd) ，当且仅当 ad bc 时等号成立跟踪训练若 3x 4y 2，则 x2 y2 的最小值为 _题型二用综合法或分析法证明不等式例 2已知 a， b， c (0， )，且 a b c 1，求证：111(2) a b c 3.(1)( 1)·( 1) ·( 1)8；abc思维升华用综合法证明

7、不等式是“ 由因导果 ” ，分析法证明不等式是“ 执果索因 ” ，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设 a， b， c>0，且 ab bc ca 1.求证： (1)a bc3；(2)ab c 3( a b c)bcacab学习必备欢迎下载题型三放缩法或数学归纳法若 n N * ，Sn 1×n n 1 ，求证： n n 1n12例 322× 3<Sn<.22思

8、维升华 (1) 与正整数 n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦(2) 放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系常见的放缩变换有11k2<，k k 11112，1>2.上面不等式中*，k>1.2>，<kNkk k 1kk k 1kk k 1311111求证： n 1<1 22n2<2 ( n2， n N) 223n学习必备欢迎下载利用算术 几何平均不等式求最值

9、典例： (5 分 )已知 a， b， c 均为正数，则a2 b2 c2 1 1 1 2 的最小值为 _abc方法与技巧1 不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法2 柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法 )等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1利用基本不等式必须要找准“ 对应点 ” ，明确 “ 类比对象 ” ，使其符合几个著名不等式的特征2注意检验等号成立的条件，特别是多次

10、使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组专项基础训练111若 a<b<0，则下列四个结论：ba2；a<2a b. |a|>|b|； a b<ab； >2bab其中正确的是 _2若 T1 2s ， T2 s m n ，则当 s， m， nR 时， T1 与 T2 的大小为 _m n2mn3设 0<x<1，则 a2x，b 1 x， c1 中最大的一个是 _1 x114已知 x， y R ，且 xy 1，则 (1 x)(1 y)的最小值为 _x y ， N x y ，则 M、N 的大小关系为 _5设 x>0， y>0， M 2x y2 x2

11、 y学习必备欢迎下载6若 a， b R ，且 a b， M a b ， N a b，则 M 、N 的大小关系为 _ba7若 a， b， c (0， )，且 a b c 1，则a bc的最大值为 _8已知 a， b， c 为正实数，且 a 2b3c 9，则3a2b c的最大值为 _1|a|9设 a b 2， b>0，则当 a _时， 2|a| b 取得最小值10设 a>0， b>0，则以下不等式ab> 2ab ， a>|a b| b； a2 b2>4ab 3b2； ab 2>2abab中恒成立的序号是 _B 组 专项能力提升1 9 1，则 x y 的最小

12、值为 _1 已知 x>0 ， y>0，且 xy2函数 y x2·(1 3x)在0， 1 上的最大值是 _33已知 a， b， m， n 均为正数，且a b 1， mn 2，则 (am bn)(bm an)的最小值为 _4已知 a， b 为实数，且 a>0， b>0.则 a b1211的最小值为 _aa b2ax y z5 Px 1y 1z 1(x>0， y>0， z>0)与 3 的大小关系是 _6已知 x2 2y2 3z218，则 3x2y z 的最小值为 _ 177设 a， b， c 都是正数，那么三个数a 1， b1， c 1_.(填序号

13、 )bca都不大于2；都不小于2；至少有一个大于2；至少有一个不小于2.学习必备欢迎下载答案基础知识自主学习要点梳理1 (2) a b正数不小于 (即大于或等于 )(3) xy 大 x y 小2 (1) a bc不小于(2)不小于 a1 a2 ana4 (1)a b>0 b>1 (2)充分条件(4)相反(5) 放大或缩小夯基释疑1 a>b2M <N解析 MN aa mm ab<0，即 M<N.bb mb b m3 a>b>c解析分子有理化得 a11， c1，b a>b>c.3 2657 614 PQ解析2lg(1 a) lg(1 b)

14、 lg1 a1 b . (1 a)(1 b) 1 (a b) ab 1 2ab ab (1 ab)2， 1 a 1 b 1 ab， lg(1 ab) lg1 a11 b lg(1 a) lg(1 b) ，21即 lg(1 ab)2lg(1 a) lg(1 b) P Q.2222222 22 25 2解析 (a b c) a b c (a) (b ) ( c ) ·(a ) (b )2 2222 2(c)a·ab·b c·c 18. 2a 2b 2c2. 2a 2b 2c的最小值为 2.题型分类深度剖析例 1证明由于 2x y 2(3x)1( 2y)，32

15、由柯西不等式 (a1b1 a2b2 )2 (a12 a22)(b12 b22)得222 (12224111×6 11， |2x y|11， 2x y 11.(2xy) () (3 x 2y)( )× 663232跟踪训练 1425解析由柯西不等式 (3242) ·(x2 y2) (3x4y)2， 得 25(x2y2) 4，所以 x2y2 4 .25xy223x 4y 2，不等式 中当且仅当3 4 时等号成立，x y取得最小值，由方程组x y解得3 4，x625，682248因此当 x25， y25时， x y取得最小值，最小值为25.y25.例 2证明(1) a，

16、 b， c (0， )， a b 2ab，b c 2bc， ca 2ca，学习必备欢迎下载111b c a c a b2 bc·2 ac·2 ab8.( 1) (· 1) (· 1)abcabcabc(2) a，b， c (0， )， a b 2ab，b c 2 bc， ca 2ca， 2(a b c)2ab 2bc 2ca，两边同加 a b c 得 3(a b c) ab c 2 ab 2 bc 2ca (ab c)2.又 a b c 1， ( a b c)2 3， a b c 3.跟踪训练2证明(1) 要证 a bc3，2222即证： a b c 2

17、(ab bc ca) 3，而 ab bc ca 1，222故需证明： a b c 2(ab bcca) 3(ab bcca)即证： a2 b2 c2 ab bc ca.而这可以由 ab bc caa2 b2b2 c2c2 a2(当且仅当a b c 时等号成立 )证222 a2 b2 c2得 原不等式成立abc a b c(2)bcacababc.在 (1) 中已证 ab c 3.因此要证原不等式成立，只需证明1 a b c.即证 abc baccab 1，abc即证 a bc bac cab abbc ca.而 aab acab bcbc ac.abcbac cab ab bcca (abc

18、ab·ac2， b ac2， c ab2 b c 33时等号成立 ) 原不等式成立例3证明 n(n 1)> n2， Sn>1 2 nn n12n n1 2n 11又 n n 1 <22 n2，111n n 1nn2 2n< Sn<(1) (2 ) (n)222222跟踪训练 3证明 k(k 1)> k2>k(k 1)， k 2，11111111 k k 1 <k2<k k 1 ，即 k k1<k2<k 1 k，分别令 k2,3， ，n 得111123<22<1 2；1111134<32<23；1

19、1111<2<；nn 1 nn 1n.n 1 2n n 1<Sn<n 1 2.2.22学习必备欢迎下载111111111111112334 nn 1<2232 n2<1223 n 1 n，111111311111.即 <22 2<1， <1232 2<22n 123nn2n 12nn练出高分A 组1解析取特殊值a 1， b 2，代入验证得 正确2 T1 T2解析 因为 2ss m n4nm m n 2 s mn 22mns·0.所以 T1 T2 .mn2mn m n2mn m n3 c解析由 a2 2x， b2 1 x2 2

20、x>a2， a>0， b>0 得 b>a.又 c b 1 (1 x) 1 1x2 x2 >0 得 c>b，知 c 最大1 x1 x1 x11124 4解析(1 x)(1 y) (1xy)4.5M<NN x y>xyx y M.解析2 x2 y 2 x y2 x y2 x y6M>N解析 a b， a b>2a， b a>2b，ba a b b a>2a 2b， a b >a b.即 M>N.baba7.3解析(ab c)2 (1× a 1× b1× c)2(1 2 12 12)(a

21、 b c) 3.当且仅当 a b c1时，等号成立 (a b c)2 3.故 a b c的最大值为3.3118.39解析3a2b c 3a 2b33c3 1 3 a 2b3c39，故最大值为39.1|a|a b|a|ab|a|9 2解析由于 a b 2，所以 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b ，由于 b>0，|a|>0，所以b|a|b |a|1|a| 2· 1，因此当 a>0 时，b的最小值4|a|b4|a| b2|a|b|a|151|a|13.故1|a|3b，即是 1；当 a<0 时，b的最小值是142|a|b的最小值为，此时 4|a|44

22、2|a|44a<0 ，a 2.10解析 a>0， b>0， a b 2 ab. ab2ab.故 不恒成立a b 中 a b>|a b|恒成立 中 a2 b2 4ab 3b2 a2 4ab 4b2 (a 2b)2 0，故 不恒成立2 中由 ab>0 及 ab 22>2 恒成立，因此只有 正确abB 组学习必备欢迎下载191 16解析x>0 ， y>0， x y 1，19y 9x x y (x y) · yx y 106 10 16，当且仅当x1 9又 x y 1， x 4，y 12 时， (xy) min16.y9xx y 时，上式等号成

23、立44 3 33342.解析24 xx 1 3x 3243由 y x ·(1 3x)·x·x(1 3x)922.9 22324332解析由柯西不等式 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，当且仅当 ad bc 时“ ” 成立，得 (am bn)(bm an) (am· an bm bn)2 mn(a b)2 2.4 9解析因为 a>0，b>0，所以 a b1 33a× b×1 3 3 b>0 ，aa21131由 及不等式的性质得同理可证： a b a 3b>0.2121131a b aab a2 3

24、3 b× 3b 9.5 P<3 P 3 x 1 y 1 z 1 1 1解析 1<0， P<3.x 1y 1z 1x 1y 1z 122222121226 23解析 (x 2y 3z )3 (2) 3 (3x2y· 23z· 3) (3x 2y z)，当且仅当 x 3y 9z 时，等号成立 (3x 2y z)2 12，93333即 23 3x 2y z 2 3.当 x17 ， y17，z 17时，3x 2y z 23， 最小值为 2 3.111111117解析 a b b c caaa b b c c2 2 26. a b， b c，1c a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.